Unzählig viele Äquivalenzklassen

Ich habe das in meine Notizen geschrieben: Können wir haben μ : P ( R ) → [ 0 , ∞ ] so dass:

  1. Wenn E 1 . . . ist dann eine endliche oder unendliche Folge disjunkter Mengen μ ( E 1 ∪ ∪ E 2 . . . ) = μ ( E 1 ) + μ ( E 2 ) + . . .
  2. Wenn E ist deckungsgleich mit F , Dann μ ( E ) = μ ( F ) .
  3. μ ( Q ) = 1 .

Lemma: Es existiert eine Menge N ⊂ [ 0 , 1 ) so dass μ ( N ) ist schlecht definiert.

Beweis: Betrachten Sie die folgende Äquivalenzrelation auf R : X ∼ j ↔ X − j ∈ Q Dann R zerfällt in unzählige Äquivalenzklassen.

Das ist der Teil, den ich nicht wirklich verstehe. Wie funktioniert R in unzählige Äquivalenzklassen zerlegen? Wie sehen die einzelnen Äquivalenzklassen aus? Wären nicht alle ganzen Zahlen und rationalen Zahlen in derselben Äquivalenzklasse: { 0 , 1 , 2 , 3 , 1 / 2 , 1 / 3 , 1 / 4 , − 1 , 1 / 5 , 1 / 6 , … } . Aber was ist mit den irrationalen Zahlen? Bildet jede von ihnen eine eigene Äquivalenzklasse, und da es unabzählbar viele gibt, gibt es unabzählbar viele Äquivalenzklassen? Kann eine einzelne Zahl auch in zwei verschiedenen Äquivalenzklassen sein? Danke für die Hilfe.

Antworten (1)

Es ist nicht genau so, dass jede irrationale Zahl ihre eigene Äquivalenzklasse bildet, aber das ist fast richtig, bis auf die Hinzufügung einer rationalen Zahl.

Jedes rationale ist trivialerweise in der Klasse von 0 . Der Unterschied eines Irrationalen X und noch eine reelle Zahl j ist irrational, es sei denn j ist von der Form X + R , mit R rational. Daher sind die Klassen von der Form [ X ] = { X + R ∣ R ∈ Q } für jede X ∈ R ∖ Q und die Klasse [ 0 ] für die Vernunft.

Das sind unabzählbar viele Klassen, da jede Äquivalenzklasse nur abzählbar viele Elemente hat, die aber das Ganze abdecken R .

Keine Zahl kann in zwei verschiedenen Äquivalenzklassen sein, und dies ist eine allgemeine Eigenschaft von Äquivalenzrelationen. Wenn X ∼ j Und X ∼ z , Dann j ∼ z (mit symmetrischen und transitiven Eigenschaften).

Eigentlich gehört jede Klasse zur ersten Klasse, aber ich wollte die Rationalen beiseite lassen, da sich die Diskussion auf die Irrationalen konzentrierte.
Hallo danke für die Antwort. Wären also zum Beispiel sqrt(2)+1/2 und sqrt(2)+1/3 in derselben Äquivalenzklasse?
Ja, denn ihr Unterschied ist der rationale 1 2 − 1 3 = 1 6 .
Aber 2 Und 3 befinden sich nicht in derselben Äquivalenzklasse. Zum Spaß könnten Sie die rationalen Zahlen durch die algebraischen Zahlen ersetzen, dann befinden sich alle diese Beispiele in derselben Klasse, der von 0 . "Größere" Klassen, aber immer noch unzählbar viele davon.
Genau, ihr Unterschied ist irrational. Das ist richtig, die gleiche Argumentation würde funktionieren, wenn man das Wort "rational" durch "algebraisch" ersetzt.
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@Javi Ich habe es akzeptiert, danke für die Hilfe
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