Schwache absolute Kontinuität der Maßnahmen

Question

Schwache absolute Kontinuität der Maßnahmen

Infinitesimalrechnung
Mathematik
Realanalyse
Maßtheorie
Lebesgue-Integral

Benutzer66906

Ich möchte das zeigen, wenn wir eine Funktion haben $f \in L^p$ sucht das $||f||_p =1$ .

Definieren Sie eine neue Kennzahl $\mu$ von

μ (A) := \int_{A} | F (X) |^{P} D M (X) .

$\mu(A):=\int_A |f(x)|^p dm(x).$

Dann $\forall \epsilon > 0 \ \ \exists \delta>0$ so dass die folgende Implikation gilt:

M (A) < δ \Rightarrow μ (A) < ϵ .

$m(A)< \delta \Rightarrow \mu(A) < \epsilon.$

Ich habe einiges in Wikipedia gelesen und festgestellt, dass dies irgendwie mit der absoluten Kontinuität von Maßnahmen zusammenhängt, aber ich weiß nichts darüber. Vielleicht kannst du mir einen Tipp geben, wie ich das zeigen kann?

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Schwache absolute Kontinuität der Maßnahmen

David Giraudo · Answer 1

Angesichts $|f|^p$ anstatt $f$ , davon können wir ausgehen $p=1$ Und $f$ ist nicht negativ.
Für jede einfache Funktion $s:=\sum_{i=1}^Na_i\chi_{B_i}$ , Wo $a_i$ sind nicht negative reelle Zahlen und $B_i$ disjunkte messbare Mengen und jede messbare Menge $A$ ,
$\begin{matrix} (*) & μ (A) = \int_{A} | F - S + S | M (X) ⩽ \int_{A} | F - S | D M (X) + \int_{A} S (X) D M (X) ⩽ “ F - S “_{1} + (\sum_{ich = 1}^{N} A_{ich}) M (A) . \end{matrix}$ $\mu(A)=\int_A|f-s+s|\mathrm m(x)\leqslant \int_A|f-s|\mathrm dm(x)+\int_As(x)\mathrm dm(x)\\\leqslant\lVert f-s\rVert_1+\left(\sum_{i=1}^Na_i\right)m(A)\tag{*}.$
Wir können abschließen $(*)$ durch eine $2\varepsilon$ -Argument: nehmen $s$ so dass $\lVert f-s\rVert_1\lt \varepsilon$ ; dann definieren $\delta:=\frac{\varepsilon}{1+\sum_{i=1}^Na_i}$ .

Muss davon ausgegangen werden, dass die Maßnahme ist $\sigma$ -endlich? Ich denke, es ist wahrscheinlich.
@ Frank Wo würde $\sigma$ -Endlichkeit eine Rolle spielen? In jedem Fall können wir den Messraum verkleinern $\{f\neq 0\}$ was eine abzählbare Vereinigung von Mengen endlichen Maßes ist.
@DavidGiraudo Ich habe eine Frage. In der ersten Zeile meinten Sie, f statt zu berücksichtigen $|f|^p$ , Rechts? und je nach Bauart $s$ , nehmen wir das alles an $B_i \subset A$ ? Und nehmen Sie weiter die ||.||_1-Norm als Integral über den gesamten Maßraum oder nur $A$ (Ich würde vermuten, nur $A$ )?
ich nehme $L^1$ Norm auf dem gesamten Raum. Der $B_i's$ nicht unbedingt enthalten sind $A$ . Definieren Sie für den ersten Punkt $g:=|f|^p$ .
@DavideGiraudo In diesem Fall verstehe ich nicht, wie du darauf gekommen bist $m(A)$ im Ausdruck (*) ? $\sum_{i=1}^Na_i m(B_i)$ was ich da hätte und wenn wir davon ausgegangen wären $B_i \subset A$ , wäre klar, aber da wir das nicht tun, sehe ich nicht, wo das ist $m(A)$ kommt von?
@DavideGiraudo in der Tat, das war im Grunde der Grund, warum ich mich gefragt habe, welches Set Sie die Norm genommen haben. Vielen Dank

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