Integration der nichtnegativen Funktion, Folland Real Analysis

Question

Integration der nichtnegativen Funktion, Folland Real Analysis

Mathematik
Realanalyse
Maßtheorie
Lebesgue-Integral
elementare Mengenlehre

Wolfy

Vermuten $f$ ist eine nichtnegative messbare Funktion auf einem Maßraum $(X,M,\mu)$ befriedigend $\int f d\mu < \infty$ . Zeigen Sie das für alle $\epsilon > 0$ es existiert ein $\delta > 0$ so dass wenn $\mu(E) < \delta$ Dann

\int_{E} F D μ < ϵ

$\int_{E}f d\mu < \epsilon$

Beweisversuch: Let $E_n = \{f \geq 1/n\}$ , dann wenden wir das Lemma von Fatou auf an $f_n:= f 1_{E_n}$ , wir haben

lim_{N \to \infty} \int_{E_{N}} F D μ \leq \int_{E_{N}} lim_{N \to \infty} F D μ \leq \int_{E_{N}} lim_{N \to \infty} inf F D μ

$\lim_{n\rightarrow \infty}\int_{E_n}f d\mu \leq \int_{E_n} \lim_{n\rightarrow \infty}f d\mu \leq \int_{E_n}\lim_{n\rightarrow \infty} \inf f d\mu$

\leq lim_{N \to \infty} inf \int_{E_{N}} F D μ = lim_{N \to \infty} inf \int F 1_{E_{N}} D μ

$\leq \lim_{n\rightarrow \infty}\inf\int_{E_n} f d\mu = \lim_{n\rightarrow\infty}\inf\int f 1_{E_n} d\mu$

Ich bin mir nicht sicher, ob dies der richtige Ansatz ist oder ob ich einen anderen Satz verwenden sollte, alle Vorschläge sind sehr willkommen.

Vielleicht ein besserer Ansatz: Let $\phi$ sei eine einfache Funktion in $L^{+}$ mit Standarddarstellung $\phi = \sum_{1}^{N} a_j 1_{E_n}$ , lassen $E_n = \{f \geq 1/n\}$ Dann

\int ϕ D μ = \sum_{1}^{N} A_{J} μ (E_{N})

$\int \phi d\mu = \sum_{1}^{N}a_j \mu(E_n)$ als

n \to \infty

$n\rightarrow \infty$ wir haben

\int ϕ D μ = 0

$\int \phi d\mu = 0$ dann können wir eine auswählen

n_{0}

$n_0$ so dass

\int_{E_{n_{0}}} < ϵ / 2

$\int_{E_{n_0}} < \epsilon/2$ und weiter ....

Ein wenig an diesem Problem festgefahren, wie Sie sehen können

Wolfy

Wenn ich jetzt mehr darüber nachdenke, denke ich, dass ich den Satz der dominierten Konvergenz verwenden sollte, obwohl ich denke, dass Fatous Lemma oder der Satz der monotonen Konvergenz auch funktionieren würden.

BS Thomson

Versuchen Sie zuerst, einen einfachen Fall zu beweisen: Nehmen Sie an, dass zusätzlich zu den Annahmen hier

f

$f$ ist ebenfalls begrenzt. Das sollte nicht zu viel Kummer bereiten. Dann überlegen Sie, wo es als nächstes hingehen soll.

Antworten (2)

Integration der nichtnegativen Funktion, Folland Real Analysis

Wenn ich jetzt mehr darüber nachdenke, denke ich, dass ich den Satz der dominierten Konvergenz verwenden sollte, obwohl ich denke, dass Fatous Lemma oder der Satz der monotonen Konvergenz auch funktionieren würden.
Versuchen Sie zuerst, einen einfachen Fall zu beweisen: Nehmen Sie an, dass zusätzlich zu den Annahmen hier $f$ ist ebenfalls begrenzt. Das sollte nicht zu viel Kummer bereiten. Dann überlegen Sie, wo es als nächstes hingehen soll.

Eugen Zhang · Answer 1

Lassen $B_n=\{x:x\in X,\:n-1<f(x)\leqslant n\}$ Und $C=\{x:x\in X,\:f(x)>n\}$ . Wir haben

\int_{X} F D μ = \int_{⋃_{N = 1}^{\infty} B_{N}} F D μ = \sum_{N = 1}^{\infty} \int_{B_{N}} F D μ

$\int_Xfd\mu=\int_{\bigcup_{n=1}^{\infty}B_n}fd\mu=\sum_{n=1}^{\infty}\int_{B_n}fd\mu$ Seit

\sum_{n = 1}^{\infty} \int_{B_{n}} f d μ

$\sum_{n=1}^{\infty}\int_{B_n}fd\mu$ ist absolut konvergent, gegeben

ϵ > 0

$\epsilon>0$ da ist ein

N

$N$ so dass für alle

n > N

$n>N$

\begin{matrix} (1) & \sum_{N = N + 1}^{\infty} \int_{B_{N}} F D μ = \int_{⋃_{N = N + 1}^{\infty} B_{N}} F D μ < ϵ / 2 \end{matrix}

$\sum_{n=N+1}^{\infty}\int_{B_n}fd\mu=\int_{\bigcup_{n=N+1}^{\infty}B_n}fd\mu<\epsilon/2\tag{1}$ Lassen

B = ⋃_{N = 1}^{N} B_{N} Und C = ⋃_{N = N + 1}^{\infty} B_{N} = X - B

$B=\bigcup_{n=1}^{N}B_n\quad\text{and}\quad C=\bigcup_{n=N+1}^{\infty}B_n=X-B$ Nehmen

δ = \frac{ϵ}{2 (N + 1)}

$\delta=\dfrac{\epsilon}{2(N+1)}$ . Dann für alle

E \subset X

$E\subset X$ so dass

μ (E) < δ

$\mu(E)<\delta$ , von

(1)

$(1)$

\int_{E} F D μ = \int_{E \cap X} F D μ = \int_{E \cap (B \cup C)} F D μ = \int_{E \cap B} F D μ + \int_{E \cap C} F D μ ⩽ N \int_{E} D μ + \int_{C} F D μ < N \frac{ϵ}{2 (N + 1)} + \frac{ϵ}{2} < ϵ

$\int_Efd\mu=\int_{E\cap X}fd\mu=\int_{E\cap (B\cup C)}fd\mu=\int_{E\cap B}fd\mu+\int_{E\cap C}fd\mu\leqslant N\int_Ed\mu+\int_Cfd\mu<N\dfrac{\epsilon}{2(N+1)}+\dfrac{\epsilon}{2}<\epsilon$

Gut gemacht, scheint aber ziemlich kompliziert zu sein, waren die Ansätze, die ich verwendet habe, völlig falsch?
Ich bin mir nicht sicher, ob Ihre Ansätze völlig falsch sind. Aber um dies zu beweisen, müssen Sie das beweisen $\mu(\{x:x\in X,\:f(x)>n\})$ ist beliebig klein, weil das Integral für beschränkt ist $\{x:x\in X,\:f(x)<n\}$ . So $\mu(\{x:x\in X,\:f(x)>1/n\})$ wird nicht helfen.
NEIN. $\int_{E\cap B}fd\mu\leqslant N\int_Ed\mu$ seit $f\leqslant N$ für $x\in B$ .

Fnacool · Answer 2

Hier ist ein anderer Ansatz, durch Widerspruch. Nehmen Sie das dann für einige an $\epsilon_0>0$ , und für alle $\delta >0$ , es existiert $E_\delta$ mit $m(E_\delta) <\delta$ , noch $\int_{E_{\delta}} f > \epsilon_0$ . Das ergibt eine Reihenfolge $E_{1/n}$ mit $m(E_{1/n})< 1/n \to 0$ , so dass $\int_{E_{1/n}} f \ge \epsilon_0$ . Dann ${\bf 1}_{E_{1/n}} f\to 0$ in Maßen und dominiert von $|f|$ . Durch den Satz über die dominierte Konvergenz (für die Konvergenz im Maß) haben wir $\int_{E_{1/n}} f \to 0$ , ein Widerspruch.

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Wolfy

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Eugen Zhang

Wolfy

Eugen Zhang

Wolfy

Eugen Zhang

Fnacool

Alternativer Beweis des Satzes über die dominierte Konvergenz durch Anwendung von Fatous Lemma auf 2g−|fn−f|2g−|fn−f|2g - |f_n - f|?

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