Folland: Warum ist das Produktmaß wohldefiniert?

Lassen Sie uns an einem konkreten Beispiel zeigen, wie eine gemeinsame Verfeinerung funktioniert. Dies wird die Idee vermitteln, und es ist ziemlich klar, dass dies für jede gewünschte Region funktioniert.

Sagen$E$ist eine Menge, die als disjunkte Vereinigung von endlich vielen Rechtecken geschrieben werden kann. Zum Beispiel diese Region (verzeihen Sie die Farbe):

Nun definieren wir die Fläche (Maß) dieser Region als die Summe der Flächen (Maß) der Rechtecke in einer Zerlegung. Zum Beispiel können wir diese Region als eine disjunkte Vereinigung erleben

und definieren Sie den Bereich von$E$die Summe der Flächen dieser drei Rechtecke sein (wir wissen natürlich, wie groß die Fläche eines Rechtecks ​​sein sollte).

Aber warte, sagst du! Was wäre, wenn wir stattdessen diese Zerlegung wählen würden:

dann der Bereich von$E$sollte die Summe der Flächen dieser drei Rechtecke sein! Aber das könnte uns eine andere Antwort geben. Wie können wir garantieren, dass wir das gleiche Ergebnis erhalten, egal welche Zerlegung wir wählen?

Hier ist das Geheimnis: Legen Sie die beiden Bilder übereinander:

Wenn wir dies tun, wird jede unserer vorherigen Regionen in weitere Rechtecke unterteilt.

Wenn wir unsere Rechtecke unterteilen, nennen wir das eine Veredelung unserer Bespannung. Aber wir haben diese neuen Rechtecke geschickt ausgewählt, um eine Verfeinerung unserer beiden interessanten Abdeckungen zu sein. Das heißt, es ist eine gemeinsame Verfeinerung .

Und jetzt sehen wir, dass der Bereich von$E$gemessen an der ersten Bedeckung ist gleich der Fläche gemessen an der zweiten Bedeckung. Warum? Denn beide sind gleich groß wie die von der violetten Hülle gemessene Fläche. Schließlich,

$$\begin{aligned} \text{area}(\text{red}_1 + \text{red}_2 + \text{red}_3) &= \text{area}( \text{purple}_1 + (\text{purple}_2 + \text{purple}_3 + \text{purple}_4) + (\text{purple}_5 + \text{purple}_6 ) \\ &= \text{area}( \text{purple}_2 + (\text{purple}_3 + \text{purple}_5) + (\text{purple}_1 + \text{purple}_4 + \text{purple}_6) ) \\ &= \text{area}( \text{blue}_1 + \text{blue}_2 + \text{blue}_3) \end{aligned}$$

Wo ich die rot / blauen Regionen nicht explizit gekennzeichnet habe (hauptsächlich, weil ich faul bin), aber hoffentlich aus dem Kontext klar ist.

Wir sehen also, dass wir dasselbe Argument führen können, solange wir eine gemeinsame Verfeinerung finden können. Die von einer Überdeckung berechnete Fläche ist die gleiche wie die von einer ihrer Verfeinerungen berechnete Fläche (dies ist im Grunde die Additivität eines Maßes für disjunkte Mengen). Wenn also zwei Überdeckungen eine gemeinsame Verfeinerung haben, müssen sie dieselbe Fläche ergeben.

Da nun immer eine gemeinsame Verfeinerung existiert (dies ist formal ärgerlich zu beweisen, sollte aber intuitiv offensichtlich sein), bedeutet dies, dass zwei beliebige Überdeckungen derselben Region dieselbe Fläche ergeben, was genau das ist, was wir zeigen wollten!

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Ich hoffe das hilft ^_^

Beachten Sie, dass wir schreiben können$E=\bigcup_{i,j}(A_i\times B_i)\cap(C_j\times D_j)=\bigcup_{i,j}(A_i\cap C_j)\times(B_i\cap D_j)$.

So:$A_i\times B_i=\bigcup_{j}(A_i\cap C_j)\times(B_i\cap D_j)$,$C_j\times D_j=\bigcup_{i}(A_i\cap C_j)\times(B_i\cap D_j)$.

Also haben wir:$\mu(E)=\mu(\bigcup_i A_i\times B_i)=\mu(\bigcup_{i,j}(A_i\cap C_j)\times(B_i\cap D_j))=\sum_{i,j}\mu_1(A_i\cap C_j)\mu_2(B_i\cap D_j)$

Jetzt:

$\sum_{i}\mu_1(A_i)\mu_2(B_i)=\sum_{i,j}\mu_1(A_i\cap C_j)\mu_2(B_i\cap D_j)=\sum_j\mu_1(C_j)\mu_2(D_j)$, wobei der letzte Schritt wahr ist, weil ich die Reihenfolge der Summation ändern kann (alles ist nicht negativ).