Verallgemeinerung von Scheffes Lemma nur unter Verwendung von Konvergenz in der Wahrscheinlichkeit

Question

Verallgemeinerung von Scheffes Lemma nur unter Verwendung von Konvergenz in der Wahrscheinlichkeit

Integration
Mathematik
Realanalyse
Maßtheorie
Wahrscheinlichkeitstheorie

FelixB.

Ich habe kürzlich über diese Frage nachgedacht, weil wir dieses Lemma versehentlich mit Konvergenz in Wahrscheinlichkeit anstelle der üblichen fast sicheren Konvergenz als Übung angegeben haben. Der übliche Beweis mit dem Lemma von Fatou funktioniert in diesem Fall nicht.

Es stellt sich heraus, dass Sie das Lemma von Scheffe tatsächlich wie folgt verallgemeinern können

Verallgemeinertes Lemma von Scheffe

Annehmen, dass $(X_n)_{n\in\mathbb{N}}\subset L^1$ konvergiert in der Wahrscheinlichkeit zu $X_\infty\in L^1$ . Dann sind die folgenden Aussagen äquivalent:

$\mathbb{E}[|X_{n}|]\to \mathbb{E}[|X_{\infty}|]<\infty$ , als $n\to \infty$ .
Für alle $\epsilon>0$ wir haben $\limsup_{n\to\infty} \mathbb{E}[|X_n|\mathbb{1}_{|X_\infty-X_n|> \epsilon}] \le \epsilon$
$\{X_\infty, X_1, X_2,\dots\}$ sind gleichmäßig integrierbar
$X_n\to X_{\infty}$ In $L^1$ , als $n\to \infty$

Ich bin mir nicht sicher, ob dieses Ergebnis neu ist (wahrscheinlich nicht), aber ich wollte, dass es einfacher zu finden ist. Hier also ein Beweis.

Mason

Die Konvergenz in der Wahrscheinlichkeitsversion lässt sich leicht aus der Konvergenz als Version unter Verwendung des "Uryshonn-Teilfolgenprinzips" und der Tatsache ableiten, dass die Konvergenz in der Wahrscheinlichkeit die Konvergenz einer Teilfolge als impliziert. Beachten Sie auch, dass die Äquivalenz von 1 und 4 ein Sonderfall der verallgemeinerten DCT ist.

FelixB.

@Mason sicher, dass Sie eine Konvergenz in der Wahrscheinlichkeit als konvergierende Teilsequenzform erhalten, die dann auch konvergiert

L^{1}

$L^1$ , aber es ist nicht offensichtlich, wie Sie daraus schließen können, dass die gesamte Folge in konvergiert

L^{1}

$L^1$ davon. Damit die DCT funktioniert, benötigen Sie eine fast sichere Konvergenz, da die punktweise Grenze innerhalb des Integrals meines Wissens sonst nicht richtig definiert ist

Mason

Ich habe eine Antwort hinzugefügt, um die Verwendung von Uryshons Subsequence-Prinzip zu veranschaulichen. Die verallgemeinerte DCT funktioniert auch, wenn die Sequenz im Maß konvergiert. Sie sind bereits gegeben

X_{\infty}

$X_{\infty}$ als Maßgrenze; Die verallgemeinerte DCT ermöglicht es Ihnen, auf Konvergenz zu schließen

L^{1}

$L^1$ .

Antworten (2)

Verallgemeinerung von Scheffes Lemma nur unter Verwendung von Konvergenz in der Wahrscheinlichkeit

Die Konvergenz in der Wahrscheinlichkeitsversion lässt sich leicht aus der Konvergenz als Version unter Verwendung des "Uryshonn-Teilfolgenprinzips" und der Tatsache ableiten, dass die Konvergenz in der Wahrscheinlichkeit die Konvergenz einer Teilfolge als impliziert. Beachten Sie auch, dass die Äquivalenz von 1 und 4 ein Sonderfall der verallgemeinerten DCT ist.
@Mason sicher, dass Sie eine Konvergenz in der Wahrscheinlichkeit als konvergierende Teilsequenzform erhalten, die dann auch konvergiert $L^1$ , aber es ist nicht offensichtlich, wie Sie daraus schließen können, dass die gesamte Folge in konvergiert $L^1$ davon. Damit die DCT funktioniert, benötigen Sie eine fast sichere Konvergenz, da die punktweise Grenze innerhalb des Integrals meines Wissens sonst nicht richtig definiert ist
Ich habe eine Antwort hinzugefügt, um die Verwendung von Uryshons Subsequence-Prinzip zu veranschaulichen. Die verallgemeinerte DCT funktioniert auch, wenn die Sequenz im Maß konvergiert. Sie sind bereits gegeben $X_{\infty}$ als Maßgrenze; Die verallgemeinerte DCT ermöglicht es Ihnen, auf Konvergenz zu schließen $L^1$ .

FelixB. · Answer 1

Nachweisen

(ich) $\Rightarrow$ (ii): Korrigieren $\epsilon>0$ und wählen Sie eine aus $\eta>0$ . Dann gibt es $n_0\in\mathbb{N}$ so dass

\begin{aligned} E [| X_{N} |] - E [| X_{\infty} |] \leq \frac{η}{2} \forall N \geq N_{0} . \end{aligned}

$\begin{align}\label{generalized scheffe (i)->(ii)1} \mathbb{E}[|X_n|] - \mathbb{E}[|X_\infty|] \le \tfrac{\eta}2 \quad \forall n\ge n_0. \end{align}$

Seit $\{X_\infty\}$ gleichmäßig integrierbar ist, existiert $\delta(\eta)>0$ so dass

\begin{aligned} E [| X_{\infty} | 1_{A}] \leq \frac{η}{2} \forall A \in A : P (A) < δ (η) . \end{aligned}

$\begin{align*} \mathbb{E}[|X_\infty| 1_{A}] \le \tfrac\eta2 \quad \forall A\in\mathcal{A} : \mathbb{P}(A) < \delta(\eta). \end{align*}$ Seit

X_{n} \to X_{\infty}

$X_n\to X_\infty$ wahrscheinlich existiert also

n_{1} \in N

$n_1\in\mathbb{N}$ so dass für alle

n \geq n_{1}

$n\ge n_1$

\begin{aligned} P (| X_{\infty} - X_{N} | > ϵ) \leq δ (η) ⟹ E [| X_{\infty} | 1_{| X_{\infty} - X_{N} | > ϵ}] \leq \frac{η}{2} \end{aligned}

$\begin{align}\label{generalized scheffe (i)->(ii)2} \mathbb{P}(|X_\infty - X_n| > \epsilon) \le \delta(\eta) \implies \mathbb{E}[|X_\infty| 1_{|X_\infty - X_n| > \epsilon}] \le \tfrac\eta2 \end{align}$ Jetzt stecken wir die Dinge zusammen. Wir haben für

n \geq max {n_{0}, n_{1}}

$n\ge\max\{n_0, n_1\}$

\begin{aligned} E [| X_{N} | 1_{| X_{\infty} - X_{N} | > ϵ}] & = E [| X_{N} |] - E [| X_{N} | 1_{| X_{\infty} - X_{N} | \leq ϵ}] \\ = \underset{\leq \frac{η}{2}}{\underset{⏟}{E [| X_{N} |] - E [| X_{\infty} |]}} + \underset{\begin{aligned} \leq E [| X_{\infty} - X_{N} | 1_{| X_{\infty} - X_{N} | \leq ϵ}] \\ \leq ϵ \end{aligned}}{\underset{⏟}{E [(| X_{\infty} | - | X_{N} |) 1_{| X_{\infty} - X_{N} | \leq ϵ}]}} + \underset{\leq \frac{η}{2}}{\underset{⏟}{E [| X_{\infty} | 1_{| X_{\infty} - X_{N} | > ϵ}]}} \end{aligned}

$\begin{align*} \mathbb{E}[|X_n| 1_{|X_\infty-X_n|>\epsilon}] &= \mathbb{E}[|X_n|] - \mathbb{E}[|X_n| 1_{|X_\infty-X_n|\le\epsilon}]\\ &= \underbrace{\mathbb{E}[|X_n|] - \mathbb{E}[|X_\infty|]}_{ \le \tfrac\eta2 } + \underbrace{ \mathbb{E}[(|X_\infty| - |X_n|)1_{|X_\infty-X_n|\le\epsilon}] }_{ \begin{aligned} &\le \mathbb{E}[|X_\infty - X_n|1_{|X_\infty-X_n|\le\epsilon}]\\ &\le \epsilon \end{aligned} } + \underbrace{\mathbb{E}[|X_\infty|1_{|X_\infty-X_n|>\epsilon}]}_{ \le \tfrac\eta2 } \end{align*}$ Dies impliziert die Behauptung. Die erste Summe nutzt die Tatsache aus, dass die Masse der Zufallsvariablen ähnlich sein muss. Wir können uns also nicht massenhaft auf ein kleines Event wie z

X_{n}

$X_n$ fern sein

X_{\infty}

$X_\infty$ . Das ist, was Beispiele für Konvergenz in der Wahrscheinlichkeit ohne

L^{1}

$L^1$ Konvergenz-Exploit.

(ii) $\Rightarrow$ (iii): Wir wollen zeigen

\begin{aligned} lim_{M \to \infty} sup_{N} E [| X_{N} | 1_{| X_{N} | > M}] = 0. \end{aligned}

$\begin{align*} \lim_{M\to\infty} \sup_n \mathbb{E}[|X_n|1_{|X_n|> M}] = 0. \end{align*}$ Also etwas reparieren

δ > 0

$\delta>0$ . Wir wählen aus

ϵ := \frac{δ}{4}

$\epsilon := \tfrac\delta4$ und dann auswählen

n_{0} \in N

$n_0\in\mathbb{N}$ so dass für alle

n \geq n_{0}

$n\ge n_0$ wir haben

\begin{aligned} E [| X_{N} | 1_{| X_{\infty} - X_{N} | > ϵ}] \leq ϵ + \frac{δ}{4} . \end{aligned}

$\begin{align}\label{convergence ui} \mathbb{E}[|X_n|1_{|X_\infty - X_n| > \epsilon}] \le \epsilon + \tfrac\delta4. \end{align}$ Als

{X_{1}, \dots, X_{n_{0}}}

$\{X_1, \dots, X_{n_0}\}$ ist eine endliche Menge, sie ist gleichmäßig integrierbar, und es existiert

M_{0}

$M_0$ so dass

\begin{aligned} sup_{0 \leq N \leq N_{0}} E [| X_{N} | 1_{| X_{N} | > M}] \leq δ \forall M \geq M_{0} . \end{aligned}

$\begin{align}\label{finite case} \sup_{0\le n\le n_0} \mathbb{E}[|X_n| 1_{|X_n| > M}] \le \delta \quad \forall M\ge M_0. \end{align}$ Ähnlich gibt es

M_{1}

$M_1$ , so dass

\begin{aligned} E [| X_{\infty} | 1_{| X_{\infty} | > M - ϵ}] \leq \frac{δ}{4} \forall M \geq M_{1} \end{aligned}

$\begin{align}\label{X_infty is ui} \mathbb{E}[|X_\infty| 1_{|X_\infty|>M-\epsilon}] \le \tfrac\delta4 \quad \forall M\ge M_1 \end{align}$ Um die Dinge zusammenzufassen, beachten Sie, dass wir immer haben

\begin{aligned} 1_{| X_{N} | > M} \leq 1_{| X_{\infty} - X_{N} | > ϵ} + 1_{| X_{\infty} | > M - ϵ} 1_{| X_{\infty} - X_{N} | \leq ϵ} . \end{aligned}

$\begin{align}\label{indicator functions} 1_{|X_n| > M} \le 1_{|X_\infty - X_n| > \epsilon} + 1_{|X_\infty|>M-\epsilon}1_{|X_\infty-X_n|\le \epsilon}. \end{align}$ Dies bedeutet für alle

M \geq max {M_{0}, M_{1}}

$M\ge \max\{M_0, M_1\}$

\begin{aligned} sup_{N \in N} E [| X_{N} | 1_{| X_{N} | > M}] \\ \leq max {\underset{\leq δ}{\underset{⏟}{sup_{0 \leq N \leq N_{0}} E [| X_{N} | 1_{| X_{N} | > M}]}}, sup_{N \geq N_{0}} \underset{\leq \frac{δ}{2}}{\underset{⏟}{E [| X_{N} | 1_{| X_{\infty} - X_{N} | > ϵ}]}} + \underset{\begin{aligned} \leq E [| X_{\infty} | 1_{| X_{\infty} | > M - ϵ}] + ϵ \\ \leq \frac{δ}{2} \end{aligned}}{\underset{⏟}{E [| X_{N} | 1_{| X_{\infty} | > M - ϵ} 1_{| X_{\infty} - X_{N} | \leq ϵ}]}}} \end{aligned}

$\begin{align*} &\sup_{n\in\mathbb{N}} \mathbb{E}[|X_n| 1_{|X_n| > M}]\\ &\le \max\Big\{ \underbrace{\sup_{0\le n\le n_0} \mathbb{E}[|X_n| 1_{|X_n| > M}]}_{\le \delta}, \sup_{n\ge n_0} \underbrace{\mathbb{E}[|X_n| 1_{|X_\infty - X_n|>\epsilon}]}_{ \le \tfrac\delta2 } + \underbrace{\mathbb{E}[|X_n| 1_{|X_\infty|>M-\epsilon}1_{|X_\infty - X_n|\le\epsilon}]}_{ \begin{aligned} &\le \mathbb{E}[|X_\infty| 1_{|X_\infty|>M-\epsilon}] + \epsilon\\ &\le \tfrac\delta2 \end{aligned} } \Big\} \end{align*}$

(iii) $\Rightarrow$ (iv): Einige reparieren $\epsilon >0$ , dann gibt es aufgrund der einheitlichen Integrierbarkeit einige $\delta >0$ , so dass $\mathbb{P}(A)<\delta$ bedeutet für alle $n$

\begin{aligned} E [| X_{N} | 1_{A}] \leq ϵ Und E [| X_{\infty} | 1_{A}] \leq ϵ . \end{aligned}

$\begin{align}\label{ui result} \mathbb{E}[|X_n| 1_{A}] \le \epsilon \quad \text{and}\quad \mathbb{E}[|X_\infty|1_{A}] \le \epsilon. \end{align}$ Jetzt wählen wir

n_{0} \in N

$n_0\in \mathbb{N}$ so dass

\begin{aligned} P (| X_{\infty} - X_{N} | > ϵ) \leq δ \forall N \geq N_{0} . \end{aligned}

$\begin{align*} \mathbb{P}(|X_\infty - X_n| > \epsilon) \le \delta \quad \forall n\ge n_0. \end{align*}$
Mit dem vorherigen Ergebnis impliziert dies für alle

n \geq n_{0}

$n\ge n_0$

\begin{aligned} E [| X_{\infty} - X_{N} |] \leq \underset{\leq ϵ}{\underset{⏟}{E [| X_{\infty} - X_{N} | 1_{| X_{\infty} - X_{N} | \leq ϵ}]}} + \underset{\leq ϵ}{\underset{⏟}{E [| X_{\infty} | 1_{| X_{\infty} - X_{N} | > ϵ}]}} + \underset{\leq ϵ}{\underset{⏟}{E [| X_{N} | 1_{| X_{\infty} - X_{N} | > ϵ}]}} \end{aligned}

$\begin{align*} \mathbb{E}[|X_\infty - X_n|] \le \underbrace{\mathbb{E}[|X_\infty - X_n|1_{|X_\infty - X_n|\le \epsilon}]}_{\le \epsilon} + \underbrace{ \mathbb{E}[|X_\infty| 1_{|X_\infty - X_n| > \epsilon}] }_{\le \epsilon} + \underbrace{ \mathbb{E}[|X_n| 1_{|X_\infty - X_n| > \epsilon}] }_{\le \epsilon} \end{align*}$

(iv) $\Rightarrow$ (i): Dies folgt schließlich aus der umgekehrten Dreiecksungleichung

\begin{aligned} | | X | - | j | | \leq | X - j |, \end{aligned}

$\begin{align}\label{generalized scheffe: reverse triangle inequality} \big\lvert|x|-|y|\big\rvert\le |x-y|, \end{align}$ und Jensens Ungleichung

\begin{aligned} | E [| X_{N} |] - E [| X_{\infty} |] | & = | E [| X_{N} | - | X_{\infty} |] | \\ \leq E [| | X_{N} | - | X_{\infty} | |] \\ \leq E [| X_{N} - X_{\infty} |] \to 0, (N \to \infty) . \end{aligned}

$\begin{align*} \big\lvert \mathbb{E}\big[\lvert X_n \rvert\big] - \mathbb{E}\big[\lvert X_{\infty}\rvert\big] \big\rvert &= \big\lvert \mathbb{E}\big[\lvert X_n \rvert- \lvert X_{\infty}\rvert\big] \big\rvert\\ &\le \mathbb{E}\big[ \big\lvert \lvert X_n\rvert - \lvert X_{\infty}\rvert \big\rvert\big]\\ &\le \mathbb{E}\big[\lvert X_n - X_{\infty}\rvert\big] \to 0, \; (n \to \infty). \end{align*}$

Ich freue mich sehr, dass Sie sich entschieden haben, dies mit der Community zu teilen. +1

Mason · Answer 2

Ich werde demonstrieren, wie man zeigt, dass 1 4 impliziert, indem ich nur die as-Version dieses Theorems verwende. Vermuten $E(|X_n|) \to E(|X_\infty|)$ . Lassen $(X_{n_k})$ sei eine beliebige Teilfolge von $(X_n)$ . Seit $X_{n_k} \to X_{\infty}$ wahrscheinlich gibt es eine Teilfolge $(X_{{n_k}_j})$ so dass $X_{{n_k}_j} \to X_{\infty}$ wie seit $E(|X_{{n_k}_j}|) \to E(|X_{\infty}|)$ , die as-Version des Theorems impliziert dies $X_{{n_k}_j} \to X_{\infty}$ In $L^1$ . Seit $X_{n_k}$ eine beliebige Teilfolge war, ergibt das Urysohn-Teilfolgenprinzip $X_n \to X_{\infty}$ In $L^1$ .

Beachten Sie, dass die Implikation 1 $\implies$ 4 ist ein Sonderfall der verallgemeinerten DCT, die einen beliebigen Maßraum einhält. Verallgemeinerte DCT wird oft für Sequenzen angegeben, die ae konvergieren, aber durch ähnliche Untersequenzargumente wie oben kann gezeigt werden, dass sie auch für Sequenzen gelten, die im Maß konvergieren.

Was ist das Uryshonn-Teilfolgenprinzip? Ich bin irgendwie davon ausgegangen, dass es die Tatsache ist, dass Sie eine als Teilfolge aus einer Folge auswählen können, die in der Wahrscheinlichkeit konvergiert. Aber das scheint es nicht zu sein. Google liefert nichts brauchbares. Dasselbe gilt für diese verallgemeinerte DCT. Keine Ahnung, worauf Sie sich beziehen, daher kann ich nicht beurteilen, ob diese Antwort sinnvoll ist
@FelixB. Das Teilfolgenprinzip besagt, dass wenn $(a_n)$ ist eine Folge in einem topologischen Raum $X$ Und $a \in X$ , Dann $a_n \to a$ genau dann, wenn jede Folge von $(a_n)$ hat eine weitere Teilfolge, die gegen konvergiert $a$ . Der Beweis ist einfach: Wenn $a_n \not\to a$ , dann gibt es etwas Nachbarschaft $U$ von $a$ so dass $(a_n)$ ist schließlich nicht drin $U$ . Damit können wir eine Teilfolge konstruieren $(a_{n_k})$ mit $a_{n_k} \notin U$ für alle $k$ .
@FelixB. Verallgemeinerte DCT sagt, dass wenn $f_n \in L^1$ Und $f_n \to f$ ä und $|f_n| \leq g_n \in L^1$ Und $g_n \to g \in L^1$ ä und $\int g_n \to \int g$ , Dann $f_n \to f$ In $L^1$ . In meiner Antwort sage ich, dass wir das Subsequence-Prinzip verwenden können, um die verallgemeinerte DCT zu beweisen $f_n \to f$ eher in Maß als in ae

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