Wann ist eine Folge (Pn)n∈N(Pn)n∈N(P_n)_{n\in\mathbb{N}} von Wahrscheinlichkeiten gleichmäßig absolut stetig bezüglich ∑n2−nPn∑n2−nPn\sum_n 2^ {-n}P_n?

Durch Aufgabe 10 in Chow und Teicher, Wahrscheinlichkeitstheorie, 3. Aufl., S.208, wenn$(P_n)$gleichstetig von oben bei ist$\varnothing$, Dann$(P_n)$ist gleichmäßig absolut kontinuierlich in Bezug auf$P$(Äquistetigkeit einer Abfolge von Maßnahmen wird in der Übung definiert).

Lassen Sie mich zunächst die Behauptung von Aufgabe 10 beweisen (können Sie den Beweis bitte selbst genau überprüfen, da er Fehler enthalten kann). Lassen$\mu _n, n\geqslant 1$Und$\mu$auf einem messbaren Raum gemessen werden. Nehme an, dass$(\mu _n)$gleichstetig von oben bei ist$\varnothing$Und$(\mu_n)$ist absolut stetig bzgl$\mu$(dh,$\mu (A)=0\Rightarrow \mu _n(A)=0$für alle$n$). Wir verwenden ein Argument durch Widerspruch. Annehmen, dass$(\mu _n)$ist nicht gleichmäßig absolut kontinuierlich in Bezug auf$\mu$. Dann für einige$\varepsilon>0$es gibt Sätze$A_k$so dass

$$\mu (A_k)<k^{-2}$$ Und
$$\mu _n(A_k)\geqslant \varepsilon\ (\text{for some $n=n_k$}).$$ Bei der ersten Anzeige $\sum _k\mu (A_k)<\infty$. Lassen $A=\limsup _kA_k$. Nach dem Lemma von Borel-Cantelli $\mu (A)=0$(Dieses Lemma gilt nicht nur für Wahrscheinlichkeitsmaße, sondern auch für willkürliche Maße). Seit $\mu _n$ist absolut stetig bzgl $\mu$, wir haben $\mu _n(A)=0$für alle $n$. Wenn wir setzen $B_k=\cup _{m\geqslant k}A_m$, Dann $B_k\downarrow A$und so $B_k-A\downarrow \varnothing$. Daraus folgt die Äquistetigkeit von $(\mu _n)$von oben an $\varnothing$Das $\mu _n(B_k-A)<\varepsilon$für alle $n$und alle ausreichend groß $k$. Seit $\mu _n(A_k)\leqslant\mu _n(B_k)=\mu _n(B_k)-\mu _n(A)$, wir haben $$\mu_n(A_k)<\varepsilon$$ für alle $n$und alle groß genug $k$, was der zweiten Anzeige widerspricht.

Kommen wir zu Ihrem Problem zurück. Nehme an, dass$(P_n)$gleichstetig von oben bei ist$\varnothing$und lass$P=\sum _n2^{-n}P_n$. Seit$P_n$sind absolut kontinuierlich in Bezug auf$P$, Übung 10 garantiert das$(P_n)$ist gleichmäßig absolut kontinuierlich in Bezug auf$P$.