Wie kann ich den Satz von Fubini hier anwenden?

Question

Wie kann ich den Satz von Fubini hier anwenden?

Mathematik
Realanalyse
Maßtheorie
Wahrscheinlichkeitstheorie
Fubini-Tonelli-Theoreme

Anfänger

Übung:

Wenn $F$ ist eine kontinuierliche Verteilungsfunktion auf $(\mathbb R, \mathscr B, \mu_{\mathcal L})$ mit Verteilung $\mu_F$ , verwenden Sie den Satz von Fubini, um das zu zeigen

$\int_{\mathbb R} F(x) \, d\mu_F(x) = \frac{1}{2}$

Wenn $X_1, X_2$ sind iid Zufallsvariablen mit gemeinsamer Verteilung $F$ , Dann $P(\{X_1 \leq X_2 \}) = 1/2$ Und $\text E(F(X_1)) = 1/2$ .

Mein Versuch:

Ich verstehe die Antwort von bs_math nicht wirklich, also habe ich versucht, meine eigene zu schreiben. Ich habe hier gerade einen Versuch gelöscht, der (wie ich finde) völlig unsinnig war. Ich arbeite an einem weiteren Versuch.

Zum Beispiel verstehe ich nicht, was in Zeile 4 der Antwort von bs_math vor sich geht.

bs_math

Tipp: Schreiben

F (x)

$F(x)$ bezüglich

μ_{F}

$\mu_F$

Anfänger

@bs_math Ich habe eine Fall-zu-Fall-Definition, die das besagt

\begin{aligned} F (X) = {\begin{cases} μ ((0, X]) Wenn X > 0 \\ 0 Wenn X = 0 \\ - μ ((X, 0]) Wenn X < 0. \end{cases} \end{aligned}

$\begin{align*} F(x) = \begin{cases} \mu((0, x]) \text{ if } x > 0\\ 0 \text{ if } x = 0\\ -\mu((x, 0]) \text{ if } x < 0. \end{cases} \end{align*}$ Glaubst du, das führt zu Fubinis Theorem?

Anfänger

Wenn ich mich nicht irre, würde mir das zwei Integrale geben, die ungefähr so aussehen

\int μ_{F} ((0, x]) d μ_{f}

$\int \mu_F\big((0, x] \big) \, d\mu_f$ , und ich bin mir nicht sicher, was das Integral eines Maßes in Bezug auf dasselbe Maß ist.

bs_math

Versuchen

μ ((0, x]) = \int_{- \infty}^{x} 1 d μ_{F} (x)

$\mu((0, x]) = \int_{-\infty}^x 1 d\mu_F(x)$

Anfänger

@bs_math Danke. Ich muss versuchen, mich daran zu erinnern, wie sich das Maß jetzt auf ein uneigentliches Riemann-Integral bezieht.

bs_math

Wenn Sie das Lebesgue-Integral kennen, empfehle ich dieses

Anfänger

@bs_math Ich habe das Lebesgue-Integral verwendet, aber es sieht so aus, als müsste ich mehr darüber nachdenken, wie ich die Fälle in der Definition von darstellen soll

F (x)

$F(x)$ , z.B

μ_{F} ((0, x])

$\mu_F((0, x])$ , in Form eines Lebesgue-Integrals. Ich versuche mich zu erinnern, ob ich irgendwo etwas darüber gesehen habe.

Anfänger

Ich kenne Maße, die durch Integrale messbarer Funktionen induziert werden, aber ich denke, diese Funktionen müssen nicht negativ sein, und ich denke nicht

F

$F$ muss nicht negativ sein.

Antworten (1)

Wie kann ich den Satz von Fubini hier anwenden?

@bs_math Ich habe eine Fall-zu-Fall-Definition, die das besagt $\begin{aligned} F (X) = {\begin{cases} μ ((0, X]) Wenn X > 0 \\ 0 Wenn X = 0 \\ - μ ((X, 0]) Wenn X < 0. \end{cases} \end{aligned}$ $\begin{align*} F(x) = \begin{cases} \mu((0, x]) \text{ if } x > 0\\ 0 \text{ if } x = 0\\ -\mu((x, 0]) \text{ if } x < 0. \end{cases} \end{align*}$ Glaubst du, das führt zu Fubinis Theorem?
Wenn ich mich nicht irre, würde mir das zwei Integrale geben, die ungefähr so aussehen $\int \mu_F\big((0, x] \big) \, d\mu_f$ , und ich bin mir nicht sicher, was das Integral eines Maßes in Bezug auf dasselbe Maß ist.
@bs_math Danke. Ich muss versuchen, mich daran zu erinnern, wie sich das Maß jetzt auf ein uneigentliches Riemann-Integral bezieht.
@bs_math Ich habe das Lebesgue-Integral verwendet, aber es sieht so aus, als müsste ich mehr darüber nachdenken, wie ich die Fälle in der Definition von darstellen soll $F(x)$ , z.B $\mu_F((0, x])$ , in Form eines Lebesgue-Integrals. Ich versuche mich zu erinnern, ob ich irgendwo etwas darüber gesehen habe.
Ich kenne Maße, die durch Integrale messbarer Funktionen induziert werden, aber ich denke, diese Funktionen müssen nicht negativ sein, und ich denke nicht $F$ muss nicht negativ sein.

bs_math · Answer 1

Die Verteilungsfunktion ist allgemein definiert als

F : X \mapsto μ_{F} ((- \infty, X]),

$F: x \mapsto \mu_F((-\infty, x]),$ siehe Wikipedia . Das OP stützt sich auf eine andere Definition, die dies besagt

\tilde{F} (X) = {\begin{cases} μ_{F} ((0, X], & X > 0, \\ 0, & X = 0, \\ - μ_{F} ((- X, 0], & X < 0. \end{cases}

$\tilde{F}(x) = \begin{cases} \mu_F((0, x], & x > 0, \\ 0, &x = 0, \\ - \mu_F((-x, 0], &x < 0. \end{cases}$ Dann haben wir

\tilde{F} = F + c

$\tilde{F} = F + c$ für den konstanten Summanden

c = - μ_{F} ((- \infty, 0])

$c = - \mu_F((-\infty, 0])$ . Ich habe dies nie als Definition der Verteilungsfunktion gesehen. Dass man den Anspruch zeigen kann

\begin{matrix} (1) & \int_{R} F (X) D μ_{F} (X) = \frac{1}{2} \end{matrix}

$\int_\mathbb{R} F(x) \, d\mu_F(x) = \frac{1}{2} \tag{1}$ für

F

$F$ zeigt, dass

(1)

$(1)$ ist eigentlich so schnell wie falsch

c \neq 0

$c \neq 0$ . Ich gehe also davon aus, dass es ein Missverständnis bezüglich der beabsichtigten Definition von gibt

F

$F$ .

Nun, um zu zeigen $(1)$ Verwenden Sie dies durch die Definition des Lebesgue-Integrals

F (X) = μ ((- \infty, X]) = \int_{R} 1_{(- \infty, X]} (j) D μ_{F} (j) .

$F(x) = \mu((-\infty, x]) = \int_\mathbb{R} 1_{(-\infty, x]}(y) \, d\mu_F(y).$ Betrachten Sie dann die folgenden Transformationen:

\begin{aligned} \int_{R} F (X) D μ_{F} (X) & = \int_{R} \int_{R} 1_{(- \infty, X]} (j) D μ_{F} (j) D μ_{F} (X) \\ = \int_{R} \int_{R} 1_{(- \infty, X]} (j) D μ_{F} (X) D μ_{F} (j) \\ = \int_{R} \int_{R} 1_{[j, \infty)} (X) D μ_{F} (X) D μ_{F} (j) \\ = \int_{R} 1 - F (j) D μ_{F} (j) \\ (2) & = 1 - \int_{R} F (X) D μ_{F} (X), \end{aligned}

$\begin{align} \int_\mathbb{R} F(x) d\mu_F(x) &= \int_{\mathbb{R}} \int_\mathbb{R} 1_{(-\infty, x]}(y) \, d\mu_F(y) \, d\mu_F(x) \\ &= \int_\mathbb{R} \int_\mathbb{R} 1_{(-\infty, x]}(y) \, d\mu_F(x) \, d\mu_F(y) \\ &= \int_\mathbb{R} \int_{\mathbb{R}} 1_{[y, \infty)}(x) \, d \mu_F(x) \, d\mu_F(y) \\ &= \int_\mathbb{R} 1 - F(y) \, d\mu_F(y) \\ &= 1 - \int_\mathbb{R} F(x) \, d \mu_F(x), \tag{2} \end{align}$ wobei wir in der zweiten Zeile den Satz von Fubinis verwenden. Um von der zweiten zur dritten Zeile zu gelangen, beobachten wir für every

x, y \in R

$x, y \in \mathbb{R}$

1_{(- \infty, X]} (j) = 1 \Leftrightarrow j \leq X \Leftrightarrow 1_{[j, \infty)} (X) = 1.

$1_{(-\infty, x]}(y) = 1 \Leftrightarrow y \leq x \Leftrightarrow 1_{[y, \infty)}(x) = 1.$ In der vierten Zeile verwenden wir das für fixed

y

$y$ hat man

\begin{aligned} \int_{R} 1_{[j, \infty)} (X) D μ_{F} (X) & = \int_{R} 1 - 1_{(- \infty, j)} (X) D μ_{F} (X) \\ = 1 - \int_{R} 1_{(- \infty, j)} (X) D μ_{F} (X) \\ = 1 - lim_{H ↘ 0} \int_{R} 1_{(- \infty, j - H]} (X) D μ_{F} (X) \\ = 1 - lim_{H ↘ 0} F (j - H) \\ = 1 - F (j), \end{aligned}

$\begin{align*} \int_\mathbb{R} 1_{[y, \infty)}(x) \, d \mu_F(x) &= \int_\mathbb{R} 1 - 1_{(-\infty, y)}(x) \, d\mu_F(x) \\ &= 1 - \int_\mathbb{R} 1_{(-\infty, y)}(x) \, d\mu_F(x) \\ &= 1 - \lim_{h \searrow 0} \int_\mathbb{R} 1_{(-\infty, y - h]}(x) \, d\mu_F(x) \\ &= 1 - \lim_{h \searrow 0} F(y-h) \\ &= 1 - F(y), \end{align*}$ wobei wir in der dritten Zeile den Satz von Beppo-Levi verwenden.

Der Anspruch $(1)$ folgt unmittelbar aus $(2)$ durch Umstellen von Termen.

Dabei sind alle Integrale als Lebesgue-Integrale zu verstehen.

Wenn Sie Zeit haben, würde ich mich über eine Erklärung für das, was Sie geschrieben haben, freuen. Ich verstehe deine erste Zeile nicht. Was ist mit den drei Fällen für $F$ ? Kann das innere Integral in der ersten Zeile als Lebesgue-Integral geschrieben werden? Warum ist es in Ordnung, die Indikatorfunktion in Zeile 4 neu zu schreiben? Wie folgt Zeile 5 aus Zeile 4 ohne Dichte im Integranden? Danke.

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