Wird die bedingte Erwartung immer diese "Eigenschaft" haben? (Verständnis/Erklärung der bedingten Erwartung)

Nehmen wir an, Sie haben einen Wahrscheinlichkeitsraum$(\Omega, \mathcal{A},P)$, und eine Zufallsvariable$X: \Omega \rightarrow \mathbb{R}$auf diesem Platz. Angenommen, wir haben eine Sub-Sigma-Algebra$\mathcal{G}\subset \mathcal{A}$. Das können wir dann zeigen$\mu_X(G)=\int_GXdP$, ist ein Maß an$(\Omega, \mathcal{G})$, ist es auch leicht zu sehen, dass dieses Maß in Bezug auf P absolut stetig ist. Der Radon-Nikodym-Satz sagt uns, dass wir eine Eindeutigkeit haben$P$-ae$\mathcal{G}$-messbare Funktion$\mathcal{E}(X|\mathcal{G})$An$\Omega$, st$\mu_X(G)=\int_G\mathcal{E}(X|\mathcal{G})dP, G \in \mathcal{G}$.

Mein Problem ist, dass es mir schwer fällt, es zu beschreiben$\mathcal{E}(X|\mathcal{G})$Im Algemeinen. Wenn ich ein konkretes Beispiel wie folgt mache:

$\Omega=\{1,2,3,4\}$

$\mathcal{A}=\{\emptyset,\{1\},\{2,3\},\{4\},\{1,4\},\{1,2,3\},\{2,3,4\},\Omega\}$ $P(\{1\})=0.5,P(\{2,3\})=0.25, P(\{4\})=0.25$

$X(1)=1, X(2)=3,X(3)=3,X(4)=4$

$\mathcal{G}=\{\emptyset, \{1,4\},\{2,3\},\Omega\}$

Dann ergibt eine Berechnung und unter Verwendung der Eindeutigkeit des Radon-Nikodym-Derivats Folgendes:

$\mathcal{E}(X|\mathcal{G})(\omega)=2\mathcal{X}_{\{1,4\}}(\omega)+3\mathcal{X}_{\{2,3\}}(\omega)$.

Jetzt kommt meine Frage: Aus Grundkursen in Wahrscheinlichkeit und Statistik können wir das zeigen$E(X|\{1,4\})=2$Und$E(X|\{2,3\})=3$.

In diesem Fall sehen wir also, dass die bedingte Erwartung folgendermaßen beschrieben werden kann: Wenn Sie nur zwischen den Mengen in unterscheiden können$\mathcal{G}$dann ist der Wert der bedingten Erwartung für ein gegebenes Omega der Wert der bedingten Erwartung der Menge in$\mathcal{G}$enthält$\Omega$was "am kleinsten" ist, oder wo wir die meisten Möglichkeiten eliminiert haben, die nicht passiert sind, und dass die Sigma-Algebra$\mathcal{G}$erlaubt uns zu entfernen.

Aber das war ein einfaches Beispiel. Und im Allgemeinen haben Sie möglicherweise keine kleinsten Sets wie dieses? Aber gibt es eine intuitive oder gute Erklärung für den Wert der bedingten Erwartung, wenn wir mit größeren Mengen wie zählbaren oder unzählbaren arbeiten? Gibt es in diesen Fällen eine äquivalente Ausdrucksweise, um den Wert der bedingten Erwartung mit der bedingten Erwartung einer Menge zu verknüpfen, wie sie in der Elementarstatistik gegeben ist? Oder gibt es einen Satz oder eine Erklärung, die verallgemeinert, was ich oben für "kleine" Mengen getan habe. Und gibt hier eine gute intuitive Rechtfertigung für die bedingte Erwartung?

Wenn Sie andere intuitive "Erklärungen" der bedingten Erwartung haben, würde ich sie auch gerne hören.