Alternativer Beweis des Satzes über die dominierte Konvergenz durch Anwendung von Fatous Lemma auf 2g−|fn−f|2g−|fn−f|2g - |f_n - f|?

Hier ist ein Beweis des Satzes von der dominierten Konvergenz.

Satz. Nehme an, dass$f_n$sind messbare reellwertige Funktionen und$f_n(x) \to f(x)$für jede$x$. Angenommen, es existiert eine nichtnegative integrierbare Funktion$g$so dass$|f_n(x)| \le g(x)$für alle$x$. Dann

$$\lim_{n \to \infty} \int f_n\,d\mu = \int f\,d\mu.$$

Nachweisen. Seit$f_n + g \ge 0$, nach Fatous Lemma,

$$\int f + \int g = \int (f + g) \le \liminf_{n \to \infty} \int (f_n + g) = \liminf_{n \to \infty} \int f_n + \int g.$$ Seit$g$ist integrierbar, $$\int f \le \liminf_{n \to \infty} \int f_n.\tag*{$(*)$}$$ Ähnlich,$g - f_n \ge 0$, So $$\int g - \int f = \int (g - f) \le \liminf_{n \to \infty} \int (g - f_n) = \int g + \liminf_{n \to \infty} \int (-f_n),$$ und daher $$-\int f \le \liminf_{n \to \infty} \int (-f_n) = -\limsup_{n \to \infty} \int f_n.$$ Deshalb $$\int f \ge \limsup_{n \to \infty} \int f_n,$$ welches mit$(*)$beweist den Satz. $$\tag*{$\square$}$$

Meine Frage lautet wie folgt. Können wir einen weiteren Beweis des Satzes über die dominierte Konvergenz erhalten, indem wir das Lemma von Fatou auf anwenden$2g - |f_n - f|$?