Reelle Analyse, Folland 3.5.34

Question

Reelle Analyse, Folland 3.5.34

Mathematik
Realanalyse
Maßtheorie
beschränkte Variation
Lebesgue-Integral

pmtm

Nehme an, dass $F,G \in BV[a, b]$ , Wo $-\infty<a<b<\infty$ . Ich möchte das beweisen, wenn es keine Punkte gibt $[a,b]$ Wo $F$ Und $G$ sind also beide diskontinuierlich
$\int_{[A, B]} F D G + \int_{[A, B]} G D F = F (B) G (B) - F (A -) G (A -)$ $\int_{[a,b]} F d G+\int_{[a,b]} G dF= F(b)G(b)-F(a-)G(a-)$

ich weiß, dass

\int_{[A, B]} \frac{F (X) + F (X -)}{2} D G (X) + \int_{[A, B]} \frac{G (X) + G (X -)}{2} D F (X) = F (B) G (B) - F (A -) G (- B) .

$\int_{[a,b]}\frac{F(x)+F(x-)}{2}dG(x)+\int_{[a,b]} \frac{G(x)+G(x-)}{2}dF(x)=F(b)G(b)-F(a-)G(-b).$

Wie kann ich die Hypothese verwenden, dass es keine Punkte gibt $[a,b]$ Wo $F$ Und $G$ sind beide diskontinuierlich??

amsmath

Warum erklären Sie dem Leser nicht, was NBV bedeutet?

Saibling

Warum sollte man sich um die Grenze kümmern

- \infty

$-\infty$ wenn es um das Intervall geht

[a, b]

$[a, b]$ ? @OliverDiaz

Oliver Diaz

@ArcticChar: Tue ich nicht, da das Ergebnis, wie Sie bemerkt haben, lokaler Natur ist. Nun, wenn beides

F

$F$ Und

G

$G$ waren von insgesamt begrenzter Variation über

R

$\mathbb{R}$ , dann wäre es wohl wünschenswert, das so zu normalisieren

G (- \infty) = μ_{G} (\emptyset) = 0 = μ_{F} (\emptyset) = F (- \infty)

$G(-\infty)=\mu_G(\emptyset)=0=\mu_F(\emptyset)=F(-\infty)$ , in diesem Fall nimmt die Teilintegrationsformel die Form an

\begin{aligned} \int_{R} F (T) μ_{G} (D T) & = F (\infty) G (\infty) - \int_{R} G (T -) μ_{F} (D T) \\ = μ_{F} (R) μ_{G} (R) - \int_{R} G (T -) μ_{F} (D T) \end{aligned}

$\begin{align}\int_{\mathbb{R}}F(t)\mu_G(dt)&=F(\infty)G(\infty)-\int_{\mathbb{R}}G(t-)\mu_F(dt)\\&=\mu_F(\mathbb{R})\mu_G(\mathbb{R})-\int_{\mathbb{R}}G(t-)\mu_F(dt)\end{align}$

Saibling

@OliverDiaz Ich habe den Beitrag bearbeitet. Ich denke, man könnte es auch ändern

- \infty \leq a < b \leq + \infty

$-\infty \le a < b \le +\infty$ und hält das N.

Oliver Diaz

@ArcticChar: unter der Annahme, dass

F

$F$ Und

G

$G$ sind beide von endlicher totaler Variation über

R

$\mathbb{R}$ , das ist richtig. Deshalb ist die Normalisierung bequem; auch so haben wir

F (+ \infty) = μ_{F} (R)

$F(+\infty)=\mu_F(\mathbb{R})$ Und

G (+ \infty) = μ_{G} (R)

$G(+\infty)=\mu_G(\mathbb{R})$ , was man typischerweise in der Wahrscheinlichkeitstheorie tut, wenn man einmal von kumulativen Verteilungen spricht. Natürlich hier

μ_{G}

$\mu_G$ Und

μ_{F}

$\mu_F$ sind im Allgemeinen vorzeichenbehaftete Maße (mit lokaler oder vollständiger endlicher Variation)

Antworten (1)

Reelle Analyse, Folland 3.5.34

Warum sollte man sich um die Grenze kümmern $-\infty$ wenn es um das Intervall geht $[a, b]$ ? @OliverDiaz
@ArcticChar: Tue ich nicht, da das Ergebnis, wie Sie bemerkt haben, lokaler Natur ist. Nun, wenn beides $F$ Und $G$ waren von insgesamt begrenzter Variation über $\mathbb{R}$ , dann wäre es wohl wünschenswert, das so zu normalisieren $G(-\infty)=\mu_G(\emptyset)=0=\mu_F(\emptyset)=F(-\infty)$ , in diesem Fall nimmt die Teilintegrationsformel die Form an $\begin{aligned} \int_{R} F (T) μ_{G} (D T) & = F (\infty) G (\infty) - \int_{R} G (T -) μ_{F} (D T) \\ = μ_{F} (R) μ_{G} (R) - \int_{R} G (T -) μ_{F} (D T) \end{aligned}$ $\begin{align}\int_{\mathbb{R}}F(t)\mu_G(dt)&=F(\infty)G(\infty)-\int_{\mathbb{R}}G(t-)\mu_F(dt)\\&=\mu_F(\mathbb{R})\mu_G(\mathbb{R})-\int_{\mathbb{R}}G(t-)\mu_F(dt)\end{align}$
@OliverDiaz Ich habe den Beitrag bearbeitet. Ich denke, man könnte es auch ändern $-\infty \le a < b \le +\infty$ und hält das N.
@ArcticChar: unter der Annahme, dass $F$ Und $G$ sind beide von endlicher totaler Variation über $\mathbb{R}$ , das ist richtig. Deshalb ist die Normalisierung bequem; auch so haben wir $F(+\infty)=\mu_F(\mathbb{R})$ Und $G(+\infty)=\mu_G(\mathbb{R})$ , was man typischerweise in der Wahrscheinlichkeitstheorie tut, wenn man einmal von kumulativen Verteilungen spricht. Natürlich hier $\mu_G$ Und $\mu_F$ sind im Allgemeinen vorzeichenbehaftete Maße (mit lokaler oder vollständiger endlicher Variation)

Oliver Diaz · Answer 1

Daran erinnern, dass alle Rechte kontinuierliche Funktion der endlichen Variation $F$ in einem Intervall $\alpha,\beta$ generiert eine eindeutige (möglicherweise signierte) Kennzahl $\mu_F$ wenn lokale endliche Variation so dass $\mu_F((a,b])=F(b)-F(a)$ . Dem ist das sogenannte Lebesgue-Stieltjes-Maß zugeordnet $F$ , siehe beispielsweise Klenke, A. Wahrscheinlichkeitstheorie , Universitext, Springer-Verlag, London 2008, S. 26-27.)

Satz: Sei $F$ , $G$ richtig sein - stetige Funktionen mit lokal endlicher Variation auf einem Intervall $I$ (gebunden oder unbegrenzt) Let $\mu_F$ Und $\mu_G$ die von Stieltjes-Lebesgue erzeugten Maße $F$ Und $G$ bzw. Für jeden Kompakten $[a,b]\subset I$
$\int_{(A, B]} F (T) μ_{G} (D T) = F (B) G (B) - F (A) G (A) - \int_{(A, B]} G (T -) μ_{F} (D T)$ $\int_{(a,b]}F(t)\mu_G(dt)=F(b)G(b)-F(a)G(a)-\int_{(a,b]}G(t-)\mu_F(dt)$ Wo $G(t-)=\lim_{s\nearrow t}G(s)$ .

Ein Beweis kann mit dem Satz von Fubini erhalten werden

\begin{aligned} F (B) - F (A)) (G (B) - G (A)) & = \int_{(A, B] \times (A, B]} μ_{F} \otimes μ_{G} (D T, D S) \\ = \int_{(A, B]} (\int_{(A, S]} μ_{F} (D T)) μ_{G} (S) + \int_{(A, B]} (\int_{(S, B]} μ_{F} (D T)) μ_{G} (D S) \\ = \int_{(A, B]} (\int_{(A, S]} μ_{F} (D T)) μ_{G} (S) + \int_{(A, B]} (\int_{(A, T)} μ_{G} (D S)) μ_{F} (D T) \\ = \int_{(A, B]} F (S) - F (A) μ_{G} (S) + \int_{(A, B]} G (T -) - G (A) μ_{F} (D T) \end{aligned}

$\begin{aligned} F(b)-F(a))(G(b)-G(a))&=\int_{(a,b]\times(a,b]}\mu_F\otimes\mu_G(dt,ds)\\ &=\int_{(a,b]}\Big(\int_{(a,s]}\mu_F(dt)\Big)\mu_G(s) +\int_{(a,b]}\Big(\int_{(s,b]}\mu_F(dt)\Big)\mu_G(ds)\\ &=\int_{(a,b]}\Big(\int_{(a,s]}\mu_F(dt)\Big)\mu_G(s) +\int_{(a,b]}\Big(\int_{(a,t)}\mu_G(ds)\Big)\mu_F(dt)\\ &=\int_{(a,b]} F(s)-F(a)\mu_G(s) +\int_{(a,b]}G(t-)-G(a)\mu_F(dt)\\ \end{aligned}$ Algegraische Vereinfachungen liefern das Ergebnis im Theorem.

Wenn zusätzlich $F$ Und $G$ sind dann stetig $F(a)=F(a-)$ Und $G(a)=G(a-)$ . Somit $\mu_F(\{a\})=\mu_G(\{a\})=0$ , und wir können ersetzen $(a,b]$ von $[a,b]$ bei der Integration.

Reelle Analyse, Folland 3.5.34

pmtm

amsmath

Saibling

Oliver Diaz

Saibling

Oliver Diaz

Antworten (1)

Oliver Diaz

Alternativer Beweis des Satzes über die dominierte Konvergenz durch Anwendung von Fatous Lemma auf 2g−|fn−f|2g−|fn−f|2g - |f_n - f|?

Schwache absolute Kontinuität der Maßnahmen

Bedeutung und Anwendungen des Riesz-Darstellungssatzes in lokal kompakten Hausdorff-Räumen

Folland: Warum ist das Produktmaß wohldefiniert?

Integration der nichtnegativen Funktion, Folland Real Analysis

Können Supremum und (maßtheoretisches) Integral vertauscht werden?

Wie kann ich den Satz von Fubini hier anwenden?

Äquivalente Definition von Vormaßnahme

Unzählig viele Äquivalenzklassen

Satz von Fubini über lokal kompakte Hausdorff-Räume ohne Maßtheorie