Können Supremum und (maßtheoretisches) Integral vertauscht werden?

Lassen$(\Omega,\mu)$ein Maßraum sein und lassen$A$sei ein beliebiger Indexsatz. Angenommen, wir haben eine Familie$\{f_{\alpha}\}_{\alpha\in A}$von integrierbaren Karten$\Omega\to[0,\infty)$so dass das$\sup_{\alpha\in A}f_{\alpha}$(das punktweise Supremum) ist überall endlich und integrierbar. Ist es wahr dass

$$\sup_{\alpha\in A}\int_{\Omega}f_{\alpha} \ \text{d}\mu=\int_{\Omega}\sup_{\alpha\in A}f_{\alpha} \ \text{d}\mu?$$ Die Ungleichheit“$\leq$" ist klar wie $$\int_{\Omega}f_{\alpha_{0}} \ \text{d}\mu\leq\int_{\Omega}\sup_{\alpha\in A}f_{\alpha} \ \text{d}\mu$$ für alle$\alpha_{0}\in A$. Wie wäre es mit der Ungleichheit "$\geq$"?