Beispiel: Iteriertes Integral und Satz von Fubini

Question

Beispiel: Iteriertes Integral und Satz von Fubini

Sowohl Htob

Lassen $X = Y = \mathbb{R}$ und lass $\mathscr{B}$ sei der Borel $\sigma$ -Algebra. Definieren

F (X, j) = 1 Wenn X \geq 0, X \leq j < X + 1, = - 1 Wenn X \geq 0, X + 1 \leq j < X + 2, = 0 ansonsten .

$f(x,y) = 1 \ \mbox{if} \ x \geq 0, x \leq y < x+1,\ \\ \, \, \, = -1 \ \mbox{if} \ x \geq 0, x+1 \leq y < x+2, \\= 0 \ \mbox{otherwise}.$ Zeige, dass

\int \int F D X D j \neq \int \int F D j D X .

$\int\int f dxdy \neq \int\int fdydx.$ Widerspricht dies dem Fubini-Theorem?

Für den Fubini-Teil denke ich das

\int \int | F | D (M \times M) (X, j) = \int \int_{A} 1 D (M \times M) (X, j) (= Bereich unter A) = \infty

$\int\int |f| d(m \times m)(x,y) = \int\int_A 1 d(m \times m)(x,y) (= \ \mbox{area under} A) = \infty$ Wo

A = {(x, y) | x \geq 0, x \leq y < x + 2}

$A = \{(x,y) | x \geq 0, x \leq y < x+2\}$ .

Diese Funktion ist also nicht nichtnegativ und nicht nach Lebesgue integrierbar (was eine erforderliche Annahme für die Anwendung des Satzes von Fubini ist).

Das erste Problem: Gibt es einen besseren Weg zu argumentieren, dass das obige Doppelintegral unendlich ist, als zu sagen, dass das Integral den Bereich von darstellt $A$ ? (Ich bin mir nicht sicher, wie man das doppelte Integral berechnet).

Im zweiten geht es darum, das zu zeigen

\int \int F D X D j \neq \int \int F D j D X .

$\int\int f dxdy \neq \int\int f dydx.$ Ich finde, dass

\int \int_{R^{2}} F D j D X = \int_{0}^{\infty} \int_{X}^{X + 1} 1 D j D X + \int_{0}^{\infty} \int_{X + 1}^{X + 2} - 1 D j D X = \infty - \infty

$\int\int_{\mathbb{R}^2} f dydx = \int_0^\infty \int_x^{x+1} 1 dydx + \int_0^\infty\int_{x+1}^{x+2} -1 dydx = \infty - \infty$ was nicht wirklich definiert ist. Also was ist

\int \int F D j D X = ? .

$\int\int f dydx = ?.$ Oder sage ich nur, dass das Integral nicht berechnet werden kann? (Ich denke, dass

\int \int | f | d y d x = \infty

$\int\int |f| dydx = \infty$ . Diese Funktion ist also nicht einmal Lebesgue-integrierbar. In diesem Fall, wie man darüber spricht

\int \int f d y d x

$\int\int f dydx$ ?)

Yeldarbskich

Sie sollten rechnen

\int f d y

$\int f dy$ zuerst, bevor Sie sich integrieren

d x

$dx$ . Auf diese Weise sehen Sie, dass Sie tatsächlich die Nullfunktion integrieren.

Sowohl Htob

@ Yeldarbskich Ist es gültig, das zu tun? Ich meine in dem Sinne wie die Umordnung einer nicht absoluten Konvergenzreihe, dass wir die Reihe umordnen können, um die Summe gleich einer beliebigen reellen Zahl zu erhalten. Analog ist es in Ordnung, den Integranden like zu gruppieren

\int \int F D j D X = \int_{0}^{\infty} (\int_{X}^{X + 1} 1 D j + \int_{X + 1}^{X + 2} - 1 D j) D X = 0.

$\int\int f dydx = \int_0^\infty (\int_x^{x+1} 1 dy + \int_{x+1}^{x+2} -1 dy)dx = 0.$ Es scheint mir, dass das Integral zunächst nicht definiert ist.

Yeldarbskich

So sollte es sein. Wenn wir iterierte Integrale machen, sagen wir für jeden

x

$x$ definieren

g (x) = \int f d y

$g(x)=\int f dy$ durch Halten

x

$x$ konstant und führt dann das Integral aus. Dann integriert man

g (x)

$g(x)$ . Sie könnten es auch umgekehrt machen, und dieses Problem gibt ein Nichtbeispiel für die Fubini-Gleichung. In dieser Reihenfolge

\int f d y

$\int f dy$ ist sicher null.

Sowohl Htob

@Yeldarbskich Wenn dem so ist, sollte ich das erstmal definieren

G (X) = \int_{X}^{X + 1} 1 D j + \int_{X + 1}^{X + 2} - 1 D j .

$g(x) = \int_x^{x+1}1 dy + \int_{x+1}^{x+2} -1 dy.$ Dann

g

$g$ ist für alle identisch Null

x \geq 0.

$x \geq 0.$ So

\int_{x \geq 0} g (x) d x = 0.

$\int_{x \geq 0} g(x) dx= 0.$ "So

\int \int f d y d x = 0

$\int\int f dydx = 0$ " (Kann ich das gleich behaupten

\int \int f d y d x = \int g (x) d x

$\int\int fdydx = \int g(x) dx$ ? )

Yeldarbskich

Ich bin mir nicht sicher, was Ihre Verwirrung ist. Wir schreiben

\int \int f d y d x

$\int \int f dy dx$ meinen

\int (\int f d y) d x

$\int \left( \int f dy \right) dx$ und ähnlich für die andere Reihenfolge. Wenn der Satz von Fubini gilt, können wir diese Unterscheidung ignorieren, da sie gleich sind.

Sowohl Htob

@Yeldarbskich Was mich verwirrt, ist, wie schreibt man

\int f d y

$\int f dy$ , Da der Integrationsbereich zum Bruch verpflichtet

\int \int F D j D X

$\int\int f dydx$ in zwei Stücke, und wenn ich jedes Stück integriere, bekomme ich

\infty - \infty .

$\infty - \infty.$ Ich verstehe die theoretische Idee, dass

\int \int F D j D X = \int (\int F D j) D X .

$\int\int f dy dx = \int (\int f dy) dx.$ Aber wenn es um doppelte Integrale über einen bestimmten Bereich geht, ist es normal, die Grenze von zu finden

x

$x$ Und

y

$y$ in der gleichen Zeit. Ich meine, wie kannst du nur rechnen

\int f d y

$\int f dy$ da wir nicht wissen wie

\int f d y

$\int f dy$ ist definiert ?

Sowohl Htob

@ Yeldarbskich Ich denke, das ist der einzige Weg, um zu sehen, wie

\int f d y

$\int f dy$ Aussehen ist, das iterierte Integral auszuschreiben

\int \int f d y d x

$\int\int f dydx$ in der Form, die ich mache, was so aussieht, als würde das Integral in zwei Teile zerbrechen. Meine Sorge ist, wenn wir in zwei Teile zerbrechen, existiert das Integral nicht. Analog ist es wie bei uns

\int F + G D X = \int F D X + ich N T G D X

$\int f+g dx = \int f dx + int g dx$ mit

\int f d x - \int g d x \neq \infty - \infty

$\int f dx - \int g dx \neq \infty - \infty$ . Es fühlt sich an, als könnte ich nicht schreiben

\int \int f dydx = \int_0^\infty \int_x^{x+1}f dydx + \int_0^\infty_{x+1^{x+2}} f dydx

$\int \int f dydx = \int_0^\infty \int_x^{x+1}f dydx + \int_0^\infty_{x+1^{x+2}} f dydx$ b\c wir haben

\infty - \infty .

$\infty - \infty.$ Wenn ich das nicht schreiben kann, woher weiß ich das

\int f d y

$\int f dy$

Yeldarbskich

Die Linearität des Lebesgue-Integrals gilt, wenn die Summandenfunktionen entweder nicht negativ oder beide integrierbar sind. Wenn Sie das Buch von Bass verwenden, ist dies Theorem 7.4. Ein kurzer Blick auf die Trennung

\int_{X}^{X + 1} 1 D j + \int_{X + 1}^{X + 2} - 1 D j = 1 + (- 1)

$\int_x^{x+1} 1 dy + \int_{x+1}^{x+2} -1 dy = 1 + (-1)$ und das sieht man

1

$1$ Und

- 1

$-1$ keines dieser Kriterien erfüllen.

Sowohl Htob

@Yeldarbskich Okay, ich werde versuchen, alle Dinge zusammenzutragen. Vielen Dank für Ihre Geduld und Hilfsbereitschaft. Entschuldigung, dass ich sehr langsam bin im Verständnis. Produktmaßraum und Doppelintegral sind für mich schwer zu verstehen.

Antworten (1)

Beispiel: Iteriertes Integral und Satz von Fubini

Sie sollten rechnen $\int f dy$ zuerst, bevor Sie sich integrieren $dx$ . Auf diese Weise sehen Sie, dass Sie tatsächlich die Nullfunktion integrieren.
@ Yeldarbskich Ist es gültig, das zu tun? Ich meine in dem Sinne wie die Umordnung einer nicht absoluten Konvergenzreihe, dass wir die Reihe umordnen können, um die Summe gleich einer beliebigen reellen Zahl zu erhalten. Analog ist es in Ordnung, den Integranden like zu gruppieren $\int \int F D j D X = \int_{0}^{\infty} (\int_{X}^{X + 1} 1 D j + \int_{X + 1}^{X + 2} - 1 D j) D X = 0.$ $\int\int f dydx = \int_0^\infty (\int_x^{x+1} 1 dy + \int_{x+1}^{x+2} -1 dy)dx = 0.$ Es scheint mir, dass das Integral zunächst nicht definiert ist.
So sollte es sein. Wenn wir iterierte Integrale machen, sagen wir für jeden $x$ definieren $g(x)=\int f dy$ durch Halten $x$ konstant und führt dann das Integral aus. Dann integriert man $g(x)$ . Sie könnten es auch umgekehrt machen, und dieses Problem gibt ein Nichtbeispiel für die Fubini-Gleichung. In dieser Reihenfolge $\int f dy$ ist sicher null.
@Yeldarbskich Wenn dem so ist, sollte ich das erstmal definieren $G (X) = \int_{X}^{X + 1} 1 D j + \int_{X + 1}^{X + 2} - 1 D j .$ $g(x) = \int_x^{x+1}1 dy + \int_{x+1}^{x+2} -1 dy.$ Dann $g$ ist für alle identisch Null $x \geq 0.$ So $\int_{x \geq 0} g(x) dx= 0.$ "So $\int\int f dydx = 0$ " (Kann ich das gleich behaupten $\int\int fdydx = \int g(x) dx$ ? )
Ich bin mir nicht sicher, was Ihre Verwirrung ist. Wir schreiben $\int \int f dy dx$ meinen $\int \left( \int f dy \right) dx$ und ähnlich für die andere Reihenfolge. Wenn der Satz von Fubini gilt, können wir diese Unterscheidung ignorieren, da sie gleich sind.
@Yeldarbskich Was mich verwirrt, ist, wie schreibt man $\int f dy$ , Da der Integrationsbereich zum Bruch verpflichtet $\int \int F D j D X$ $\int\int f dydx$ in zwei Stücke, und wenn ich jedes Stück integriere, bekomme ich $\infty - \infty.$ Ich verstehe die theoretische Idee, dass $\int \int F D j D X = \int (\int F D j) D X .$ $\int\int f dy dx = \int (\int f dy) dx.$ Aber wenn es um doppelte Integrale über einen bestimmten Bereich geht, ist es normal, die Grenze von zu finden $x$ Und $y$ in der gleichen Zeit. Ich meine, wie kannst du nur rechnen $\int f dy$ da wir nicht wissen wie $\int f dy$ ist definiert ?
@ Yeldarbskich Ich denke, das ist der einzige Weg, um zu sehen, wie $\int f dy$ Aussehen ist, das iterierte Integral auszuschreiben $\int\int f dydx$ in der Form, die ich mache, was so aussieht, als würde das Integral in zwei Teile zerbrechen. Meine Sorge ist, wenn wir in zwei Teile zerbrechen, existiert das Integral nicht. Analog ist es wie bei uns $\int F + G D X = \int F D X + ich N T G D X$ $\int f+g dx = \int f dx + int g dx$ mit $\int f dx - \int g dx \neq \infty - \infty$ . Es fühlt sich an, als könnte ich nicht schreiben $\int \int f dydx = \int_0^\infty \int_x^{x+1}f dydx + \int_0^\infty_{x+1^{x+2}} f dydx$ $\int \int f dydx = \int_0^\infty \int_x^{x+1}f dydx + \int_0^\infty_{x+1^{x+2}} f dydx$ b\c wir haben $\infty - \infty.$ Wenn ich das nicht schreiben kann, woher weiß ich das $\int f dy$
Die Linearität des Lebesgue-Integrals gilt, wenn die Summandenfunktionen entweder nicht negativ oder beide integrierbar sind. Wenn Sie das Buch von Bass verwenden, ist dies Theorem 7.4. Ein kurzer Blick auf die Trennung $\int_{X}^{X + 1} 1 D j + \int_{X + 1}^{X + 2} - 1 D j = 1 + (- 1)$ $\int_x^{x+1} 1 dy + \int_{x+1}^{x+2} -1 dy = 1 + (-1)$ und das sieht man $1$ Und $-1$ keines dieser Kriterien erfüllen.
@Yeldarbskich Okay, ich werde versuchen, alle Dinge zusammenzutragen. Vielen Dank für Ihre Geduld und Hilfsbereitschaft. Entschuldigung, dass ich sehr langsam bin im Verständnis. Produktmaßraum und Doppelintegral sind für mich schwer zu verstehen.

Math1000 · Answer 1

Damit der Satz von Fubini gilt, müssen wir haben $f\in L^1(\mathbb R^2)$ , das ist

\iint | F (X, j) | D (X \times j) < \infty .

$\iint |f(x,y)|\ \mathsf d(x\times y)<\infty.$ Aber hier haben wir

\begin{aligned} \iint | F (X, j) | D (X \times j) & = \iint | χ_{[0, \infty] \times [X, X + 1)} (X, j) - χ_{[0, \infty] \times [X + 1, X + 2)} (X, j) | D (X \times j) \end{aligned}

$\begin{align} \iint |f(x,y)|\ \mathsf d(x\times y) &= \iint|\chi_{[0,\infty]\times[x,x+1)}(x,y)-\chi_{[0,\infty]\times [x+1,x+2)}(x,y)|\ \mathsf d(x\times y) \end{align}$ Seit

[0, \infty] \times [x, x + 1)

$[0,\infty]\times[x,x+1)$ Und

[0, \infty] \times [x + 1, x + 2)

$[0,\infty]\times[x+1,x+2)$ sind für alle disjunkt

x

$x$ , das obige Integral ist äquivalent zu

\iint χ_{[0, \infty] \times [X, X + 1)} (X, j) D (X \times j) - \iint χ_{[0, \infty] \times [X, X + 1)} (X, j) D (X \times j),

$\iint\chi_{[0,\infty]\times[x,x+1)}(x,y)\ \mathsf d(x\times y) - \iint\chi_{[0,\infty]\times[x,x+1)}(x,y)\ \mathsf d(x\times y),$ und diese beiden Integrale sind unendlich, also ist dies von der Form

\infty - \infty

$\infty-\infty$ Und

f \notin L^{1} (R^{2})

$f\notin L^1(\mathbb R^2)$ . Was die iterierten Integrale betrifft, so haben wir

\begin{aligned} \iint F D j D X & = \int_{0}^{\infty} \int_{0}^{\infty} (χ_{[X, X + 1]} (j) - χ_{[X + 1, X + 2]} (j)) D j D X \\ = \int_{0}^{\infty} [\int_{X}^{X + 1} D j - \int_{X + 1}^{X + 2} D j] D X \\ = \int_{0}^{\infty} 0 D X \\ = 0 \end{aligned}

$\begin{align} \iint f\ \mathsf dy\ \mathsf dx &= \int_0^\infty\int_0^\infty \left(\chi_{[x,x+1]}(y)-\chi_{[x+1,x+2]}(y)\right)\ \mathsf dy\ \mathsf dx\\ &= \int_0^\infty\left[\int_x^{x+1}\ \mathsf dy - \int_{x+1}^{x+2} \ \mathsf dy \right]\mathsf dx\\ &= \int_0^\infty 0\ \mathsf dx\\ &=0 \end{align}$ und die Integration in umgekehrter Reihenfolge ergibt eine endliche Zahl

c

$c$ (für

x, y < 2

$x,y<2$ ) Plus

\begin{aligned} \int_{2}^{\infty} [\int_{j - 1}^{j} D j - \int_{j + 1}^{j} D T] D j & = \int_{2}^{\infty} (X - (X - 1) - (X + 1) + X) D X \\ = \int_{2}^{\infty} 0 D X \\ = 0. \end{aligned}

$\begin{align} \int_2^\infty \left[ \int_{y-1}^y\ \mathsf dy - \int_{y+1}^y\ \mathsf dt\right]\mathsf dy &= \int_2^\infty (x-(x-1) -(x+1)+x)\ \mathsf dx\\ &= \int_2^\infty 0\ \mathsf dx\\ &= 0. \end{align}$ Der Wert des Integrals ist dann

\begin{aligned} C & = \iint_{[0, 2] \times [0, 2]} F (X, j) D (X \times j) \\ = \iint (χ_{[0, j) \times [0, 1]} (X, j) + χ_{[1, j - 1] \times [1, 2]} (X, j) - χ_{(0, j] \times [1, 2]} (X, j) + χ_{[1, j] \times [1, 2]} (X, j)) D (X \times j) \\ = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \\ = \frac{3}{2} . \end{aligned}

$\begin{align} c &= \iint\limits_{[0,2]\times [0,2]}f(x,y)\ \mathsf d(x\times y)\\ &= \iint (\chi_{[0,y)\times[0,1]}(x,y) + \chi_{[1,y-1]\times[1,2]}(x,y) - \chi_{(0,y]\times[1,2]}(x,y) +\chi_{[1,y]\times[1,2]}(x,y))\ \mathsf d(x\times y)\\ &= \frac12 + \frac12 - \frac12 + \frac12\\ &= \frac32. \end{align}$

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