Darboux-Integrale mit halbierter Partition

Lassen Sie uns anrufen ∫ A B ¯ F ( X ) D X das obere Darboux-Integral von F Und ∫ A B _ F ( X ) D X der untere.

Lassen Sie uns eine Partition von konstruieren [ A , B ] hinein 2 N Intervalle [ X k − 1 , X k ] definiert von X k = A + k ( B − A ) / 2 N und die entsprechenden Darboux-Summen

Δ N = B − A 2 N ∑ k = 1 2 N sup X ∈ [ X k − 1 , X k ] F ( X ) , δ N = B − A 2 N ∑ k = 1 2 N inf X ∈ [ X k − 1 , X k ] F ( X )

Ich verstehe, indem ich die Definitionen von nehme sup Und inf , und die Tatsache, dass solche Partitionen Teilmengen aller Partitionen von sind [ A , B ] in abzählbar viele geschlossene Intervalle, berücksichtigt, dass

lim N Δ N ≥ ∫ A B ¯ F ( X ) D X , lim N δ N ≤ ∫ A B _ F ( X ) D X
Außerdem gilt für den Fall, dass, wenn die beiden Darboux-Integrale zusammenfallen, dh wenn F ist Riemann-Darboux integrierbar, sehe ich auch, indem ich Standardtechniken befolge, die verwendet werden, um dies zu beweisen ∫ A B ¯ F ( X ) D X = ∫ A B _ F ( X ) D X dann und nur dann, wenn F ist Cauchy-integrierbar , also in einem solchen speziellen Fall die Gleichheit lim N Δ N = lim N δ N = ∫ A B F ( X ) D X , Wo ∫ A B F ( X ) D X das Riemann-Darboux- oder Cauchy-Integral (es ist dasselbe) gilt.

Ich frage mich ob lim N Δ N = ∫ A B ¯ F ( X ) D X Und lim N δ N = ∫ A B _ F ( X ) D X allgemein gilt und wie es bewiesen werden kann.

Ich danke euch allen für jede Antwort!

EDIT 22. März 15: allgemeineres Ergebnis hier .

Antworten (1)

Beanspruchen: lim N → ∞ δ N = ∫ _ A B F .

Bezeichne mit P eine Partition von [ A , B ] , von L ( F , P ) die untere Darboux-Summe von F oder die Teilung P und von P N die Teilung von [ A , B ] In 2 N Intervalle gleicher Länge (sodass δ N = L ( F , P N ) .) Der Ablauf L ( F , P N ) ist begrenzt und wächst. Lassen ICH sei seine Grenze, und nehme das an ICH < ∫ _ A B F . Dann gibt es eine Partition P so dass ICH < L ( F , P ) ≤ ∫ _ A B F . Lassen P N ∗ sei die Partition, die mit den Punkten gebildet wird P N Und P . Lass auch M eine Grenze sein | F | Und K die Anzahl der Punkte in P . L ( F , P N ) Und L ( F , P N ∗ ) unterscheiden sich in den Intervallen von P N die Punkte von enthalten P . Dann

0 < L ( F , P N ∗ ) − L ( F , P N ) ≤ 2 M K 2 − N ,
wovon
L ( F , P N ) ≥ L ( F , P N ∗ ) − 2 M K 2 − N ≥ L ( F , P ) − 2 M K 2 − N .
Grenzen nehmen als N → ∞ wir bekommen ICH ≥ L ( F , P ) , ein Widerspruch.

Was für ein schöner Beweis. Ebenso, wenn lim N Δ N > ∫ A B ¯ , dann würde es eine solche Partition geben lim N Δ N > U ( F , P ) Und U ( F , P N ) ≤ U ( F , P ) + 2 M K 2 − N , was zu dem analogen Widerspruch führen würde. Ich bemerke auch, dass das alles Gesagte auch für die Unterteilung in Taktintervalle gilt k − N für alle k ∈ N ∖ { 0 , 1 } . Sehr interessant. ¡Le agradezco de todo corazón, gentilísimo Profesor!
Darboux-Integrale mit halbierter Partition
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