Dreifache Integration ∭x2+y2+z2≤2zx2y2dxdydz∭x2+y2+z2≤2zx2y2dxdydz\iiint_{x^2+y^2+z^2 \leq 2z} x^2y^2 dxdydz

Es ist besser, sphärische Koordinaten zu verwenden

Die Region ist$x^2 + y^2 + z^2 \le 2 z$, dh,$x^2 + y^2 + (z - 1)^2 \le 1$

Damit können wir die sphärischen Koordinaten definieren$r, \theta, \phi$so dass

$x = r \sin \theta \cos \phi$

$y = r \sin \theta \sin \phi$

$z = 1 + r \cos \theta$

Und das Integral wird

$I = \displaystyle \int_{r = 0 }^ 1 \int_{\theta = 0 }^ \pi \int_{\phi = 0}^{2 \pi} r^6 \sin^5 \theta \cos^2 \phi \sin^2 \phi \text{d}\phi \text{d}\theta \text{d} r$

Integrieren mit Respekt$r$und bzgl$\phi$ist geradlinig, und das Integral reduziert sich auf

$I = \dfrac{\pi}{28} \displaystyle \int_{\theta = 0}^\pi sin^5 \theta \text{d}\theta$

Das Integral bzgl$\theta$wird mit der Substitution gelöst$u = \cos \theta$, Dann

$\displaystyle \int \sin^5 \theta \text{d} \theta = -\int (1 - u^2)^2 du =-( u -\dfrac{2}{3} u^3 +\dfrac{u^5}{5})$

Somit,

$I = \dfrac{4 \pi}{105}$

Lassen Sie uns zumindest definieren$Z:=z-1$zuerst, so wollen wir$\\\int_{x^2+y^2+Z^2\le1}x^2y^2dxdydZ$. Dann können Sie Zylinderkoordinaten aus definieren$x,\,y,\,Z$anstatt$x,\,y,\,z$: Insbesondere ist die Position entlang der Achse gegeben durch$Z$. (Sphärische Koordinaten wären etwas einfacher, aber wie Sie sagten, möchten Sie zylindrisch sein.) Seit$dxdydZ=rdrd\phi dZ$, ist unser Integral