Unterschied zwischen Integralfunktion und Stammfunktion.

Bezeichnen$G(x) = \int_a^{x}f(x)dx$

Offensichtlich$G(x) = F(x) - F(a)$

(folgt aus dem Satz)

Nimmt man jetzt Ableitungen von$F$Und$G$Sie werden sehen, dass sie gleich sind.

So$F$Und$G$unterscheiden sich durch eine Konstante.

Die Antwort auf Ihre Frage ist also positiv.

Eine Funktion$F(x)$heißt Stammfunktion einer Funktion von$f(x)$Wenn$F′( x) = f(x)$für alle$x$im Bereich von f. Beachten Sie, dass die Funktion$F$nicht eindeutig ist und dass für eine gegebene Funktion unendlich viele Stammfunktionen existieren könnten. Zum Beispiel,$F(x) = x^3$,$G( x) = x^3 + 5$, Und$H(x) = x^3 − 2$sind alle Stammfunktionen von$f(x) = 3x^2$Weil$F′(x) = G′(x) = H′(x) = f(x)$für alle$x$im Bereich von$f$. Es ist klar, dass diese Funktionen$F$,$G$, Und$H$sich nur durch einen konstanten Wert unterscheiden und dass die Ableitung dieses konstanten Werts immer Null ist. Mit anderen Worten, wenn$F(x)$Und$G(x)$sind Stammfunktionen von$f(x)$in einem gewissen Intervall, dann$F′(x) = G′(x)$Und$F(x) = G(x) + C$für einige konstant$C$im Intervall. Geometrisch bedeutet dies, dass die Graphen von$F(x)$Und$G(x)$sind bis auf ihre vertikale Position identisch.

Die Notation, die verwendet wird, um alle Stammfunktionen einer Funktion darzustellen$f(x)$ist das unbestimmte integrale Symbol geschrieben$\int$,$\int f(x) dx=F(x)+C$, wo .Die Funktion von$f(x)$heißt Integrand, und$C$wird als Integrationskonstante bezeichnet. Der Ausdruck$F(x) + C$heißt das unbestimmte Integral von F bezüglich der unabhängigen Variablen$x$. Unter Verwendung des vorherigen Beispiels von$F(x) = x^3$und f( x) = 3x^2 finden Sie, wenn wir ein unbestimmtes Integral nehmen, wir in Wirklichkeit „alle“ möglichen Stammfunktionen auf einmal finden (als unterschiedliche Werte von$C$ergibt verschiedene Stammfunktionen)

Das unbestimmte Integral einer Funktion wird manchmal auch als allgemeine Stammfunktion der Funktion bezeichnet. Außerdem würden wir sagen, dass ein bestimmtes Integral eine Zahl ist, auf die wir den zweiten Teil des Fundamentalsatzes der Analysis anwenden könnten; aber eine Stammfunktion ist eine Funktion, auf die wir den ersten Teil des Fundamentalsatzes der Analysis anwenden könnten.