Begründung der Substitution bei der Suche nach unbestimmten Integralen

Das ist etwas spät, und ich sehe, Sie haben bereits eine Antwort akzeptiert, aber ich werde eine eigene Antwort präsentieren, falls es Ihnen hilft (auch wenn es nur ein bisschen mehr ist) oder jemand anderem, der es in liest Zukunft.

Das ganze Geschäft von$u$- Substitution in der einführenden Rechnung mit einzelnen Variablen, Behandlung der Differentiale$dx,dy,du$usw. als Brüche, wenn sie uns ausdrücklich sagen, dass sie keine Brüche sind; uns dann zu sagen, dass wir Dinge definieren können, die Differentialformen genannt werden – aber erst viel später auf unserer mathematischen Reise –, hat mich auch eine Weile gestört … weshalb ich dies schreibe.

Ich werde eine Notation verwenden, die vorübergehend vielleicht nicht sehr angenehm ist, aber ertragen Sie mich. Also definiere ich zuerst das Primitiv einer (stetigen) Funktion$f$,$prim(f)$, um eine Funktion zu bezeichnen, deren Ableitung ist$f$(im Gegensatz zur unbestimmten Integralschreibweise). dh für jeden Punkt$x \in$Domain($f$),$[prim(f)]'(x) = f(x)$. Nun gibt es natürlich unendlich viele Primitive, aber lasst uns nur eines reparieren und dabei bleiben.

Als nächstes werde ich die unbestimmte ganzzahlige Version der Substitutionsregel angeben und beweisen, die Sie mit ($1$), wobei die Terminologie der Primitiven verwendet wird.

Satz: Angenommen$f$Und$g'$sind stetige Funktionen. Dann$prim[(f \circ g) g'] = [prim(f)]\circ g$.

Die Bedeutung dieser Aussage ist, dass die Ableitungen beider Seiten übereinstimmen; also zeigen wir genau das. Die Ableitung der LHS ist (per Definition von primitiv) einfach$(f \circ g) g'$.

Für die RHS verwenden wir die Kettenregel beim Differenzieren, um zu erhalten:$\left[\left(prim(f)\right)' \circ g\right] g'$, was wiederum per Definition von primitiv zu vereinfacht$(f \circ g) g'$.

Wir haben also die unbestimmte ganzzahlige Version der Substitutionsregel bewiesen. Nun, ich werde dies in Notation ausdrücken, mit der wir alle besser vertraut sind.

Wenn$f$Und$g'$sind dann stetig

$$\int (f \circ g) g' = \left( \int f \right)\circ g$$ oder

$$\int f(g(x))\ g'(x)dx = \left( \int f \right) (g(x))$$ wobei, wie Sie sehen können, die rechte Seite der unteren Gleichung ziemlich umständlich aufzuschreiben ist; es soll bedeuten $prim(f)$an der Stelle ausgewertet $g(x)$. Aus diesem Grund bevorzuge ich persönlich die oberste Gleichung - es ist eine Aussage über die Gleichheit von Funktionen, daher besteht absolut keine Notwendigkeit, die Dummy-Variable / den Integrationsparameter einzugeben (natürlich ist es bei tatsächlichen Berechnungen praktisch, aber nicht beim Schreiben von Aussagen).

Nachdem ich meine Terminologie ausreichend erklärt habe, werde ich versuchen zu erklären, wie Sie Ihre Frage ohne seltsame differenzielle Manipulationen beantworten können.

Lassen$f$Und$g$durch die Regeln definierte Funktionen sein

$$f(x) =\frac{1}{\sqrt{4-x^2}},\ g(\theta) = 2\ sin(\theta)$$

Nun, das obige Theorem besagt dies$prim[(f \circ g) g'] = [prim(f)]\circ g$. Da wir eine Formel für wollen$prim(f)$, wir können es lösen, indem wir mit komponieren$g^{-1}$auf beiden Seiten:$prim(f) = prim[(f \circ g) g']\circ g^{-1}$

Wie Sie bemerkt haben, ist die RHS einfacher zu berechnen, also machen wir das. Der erste Teil ist die Berechnung:

$$\begin{align*} prim[(f\circ g)g'](\theta) &= \int f(g(\theta))\ g'(\theta) d\theta \\ &= \int \frac{1}{\sqrt{4 - (2\ sin\theta)^2}} 2\ cos\theta \ d\theta \\ &= \int 1 \ d\theta \\ &= \theta \end{align*}$$

Also diese Funktion, an der Stelle$\theta$, hat den Wert$\theta$. Das heißt, es ist einfach die Identitätskarte,$Id$. Das haben wir also$prim(f) = prim[(f \circ g) g']\circ g^{-1} = (Id)\circ g^{-1} = g^{-1}$Wo$g^{-1}(x) = arcsin(\frac{x}{2})$.

dh wir haben das gezeigt

$$prim(f)(x) = g^{-1}(x) = arcsin\left( \frac{x}{2}\right)$$ ... oder in gebräuchlicher Schreibweise: $$\int f(x)dx = \int \frac{1}{\sqrt{4 - x^2}}dx = arcsin\left( \frac{x}{2}\right)$$

Beachten Sie, wie ich in dieser Antwort versucht habe, eine klare Unterscheidung zwischen den fraglichen Funktionen zu treffen:$f, g, prim(f), g^{-1}$usw. und ihre Werte:$f(x), g(\theta), prim(f)(x), g^{-1}(x)$usw. Der Schlüssel zu diesem ganzen Argument bestand darin, mit den Funktionen im Vergleich zu ihren Werten vorsichtig zu sein, was Sie zusammenstellen, und die Gleichung im Theorem neu anzuordnen, um eine Formel dafür zu erhalten$prim(f)$- Es gab überhaupt keine Multiplikation / Aufhebung von Differenzen.

Jetzt werde ich etwas mehr auf den allgemeinen Prozess eingehen.

Oft sehen Sie stattdessen die folgende Aussage: „Let$u = g(x), du = g'(x)dx$. Dann,

$$\int f(g(x))\ g'(x)dx = \int f(u) du$$ "

Diese Aussage ist streng genommen nicht korrekt, weil sie besagt, dass wir das gleiche Ergebnis erhalten, wenn wir beide Seiten differenzieren, aber das ist nicht der Fall, weil$(f \circ g)g'$ist sicherlich nicht gleich$f$.

Was passiert also, wenn dies keine korrekte Gleichung ist, wir aber irgendwie die richtige Antwort erhalten? Nun, die Subtilität besteht darin, dass die endgültige Substitution nach dem Integrationsprozess einer Komposition entspricht. Dies wird am besten durch das folgende einfache Beispiel erklärt.

Angenommen, wir sollen suchen$\displaystyle \int 2x e^{x^2}dx$. So läuft die typische Erklärung ab: erster Satz$u = x^2, du = 2x\ dx$. Dann verwenden wir die "Regel"$\displaystyle \int f(g(x))\ g'(x)dx = \displaystyle \int f(u) du$schreiben:

$$\begin{align} \int 2x e^{x^2}dx &= \int e^u du \\ &= e^u \\ &= e^{x^2} \\ \end{align}$$ Und damit sind wir bei unserer Antwort angelangt. Lassen Sie uns nun aufschlüsseln, was in jeder Phase der Antwort vor sich geht.

Erstens, wenn Leute schreiben "set$u = x^2$„Was wirklich los ist, ist, dass sie festgestellt haben, dass zuallererst der Integrand von diesem Typ ist$f(g(x)) g'(x)$. Als nächstes sagen sie das$g(x) = x^2$und das$f(x) = e^x$

Als nächstes haben wir die erste Gleichheit:$\int 2x e^{x^2}dx = \int e^u du$. Dies ist die „zweifelhafte Gleichheit“ in dem Sinne, dass diese als Funktionen nicht streng gleich sind. Um dies zu sehen, beachten Sie, dass die Integrationsvariable alles sein kann, was wir wollen, also können wir sie nennen$u$oder$x$oder$t$usw. Also können wir diese 'Gleichheit' schreiben als$\int 2x e^{x^2}dx = \int e^x dx$. Ich habe einfach die Variable von Integration aus geändert$u$Zu$x$auf der RHS. Aber das sagt für alle$x,$ $e^{x^2} = e^x$, was eindeutig falsch ist. Lassen wir das jetzt beiseite, ich werde später darauf zurückkommen, warum es kein großes Problem ist.

Dann fahren wir mit der nächsten Gleichheit fort:$\int e^u du = e^u$. Das sagt einfach$prim(f)(u) = e^u$, oder die Variable unterdrücken, können wir sie schreiben als$prim(f) = exp$. Dieser Schritt ist in Ordnung :)

Zuletzt ersetzen wir$u = x^2$Schlussfolgern$e^u = e^{x^2}$. Dies ist der subtile Schritt, denn durch Ersetzen$u = x^2$zurück in die Gleichung, was wirklich los ist, haben wir gerade mit komponiert$g$! Deshalb fällt die endgültige Antwort immer richtig aus.

Ich fasse diese Bemerkungen im Folgenden zusammen:

$$\int 2x e^{x^2}dx = \int e^u du \tag{!}$$ das sagt $prim((f\circ g)g') = prim(f)$, was falsch ist.

Als nächstes haben wir die Zeichenfolge von Gleichheiten:

$$\int e^u du = e^u = e^{x^2}$$ In der ersten Gleichheit rechnen wir einfach $prim(f)$. Im zweiten ersetzen wir $u = x^2$zurück, was den gleichen Effekt hat wie das Schreiben der Komposition $prim(f)\circ g$.

Der Grund, warum es für uns "in Ordnung" ist, die Gleichung, die ich als (!) bezeichnet habe, als Gleichheit zu schreiben, ist der, dass wir später ersetzen$u = x^2$wir komponieren eigentlich mit g... was bedeutet, dass wir von dem oben bewiesenen Theorem Gebrauch gemacht haben. So wird das oben bewiesene Theorem implizit in solchen Erklärungen von verwendet$u$- Substitutionsregel.

In der Gleichung$prim[(f \circ g) g'] = [prim(f)]\circ g$, manchmal könnte die LHS einfacher zu berechnen sein, für eine entsprechend gewählte$g$(wie die von Ihnen gestellte Frage) und manchmal ist die RHS möglicherweise einfacher zu berechnen (wie das von mir bereitgestellte Beispiel zeigt). Die Substitutionsregel funktioniert also in beide Richtungen. Also die Antwort auf deine Frage

"Gibt es eine strenge Aussage zum Lösen unbestimmter Integrale, die nicht in der oben genannten Form durch Substitution ausgedrückt werden können, so wie wir es für bestimmte Integrale getan haben, oder können sie mit (1) auf eine Weise berechnet werden, die ich nicht herausfinden kann?"

ist ja! Aussagen über unbestimmte Integrale/Anti-Ableitungen/Primitive sind in Wirklichkeit verkleidete Aussagen über Ableitungen (nicht bestimmte Integrale). Sie können also die Substitutionsregel (deren Beweis sich auf die Kettenregel stützte) verwenden, wie ich sie angegeben habe, und nach der gewünschten Seite lösen :)

Ich habe versucht, die Schritte, die normalerweise implizit sind und nicht klar erklärt werden, explizit zu machen. Ich hoffe, dies ist hilfreich für Sie und andere, die möglicherweise die gleichen Zweifel haben!

Du stellst eine gute Frage. In dem von Ihnen erwähnten Beispiel besteht der erste Schritt darin, einfach eine Stammfunktion in abstrakter Form aufzuschreiben, was ist

$$\tag 1 \int_0^x \frac{1}{\sqrt {4-t^2}}\,dt,\,\,|x|<2.$$

Wir wissen das$(1)$ist eine Stammfunktion für den Integranden durch die FTC. Betrachten Sie nun die Funktion$t=2\sin s.$Diese Funktion bildet ab$(-\pi/2,\pi/2)$Zu$(-2,2)$schön. Nach der ersten Gleichung, die Sie geschrieben haben,

$$\tag 2 \int_0^x \frac{1}{\sqrt {4-t^2}}\,dt = \int_0^{\arcsin x/2} \frac{2\cos s}{\sqrt {4-(2\sin s)^2}}\,ds.$$

Nachdem wir festgestellt haben, dass der Nenner auf der rechten Seite gleich ist$2\cos s,$wir bekommen$(1) = \arcsin x/2,$und wir sind fertig.

Dies ist die Begründung hinter den Kulissen, obwohl Sie nach einer Weile kündigen werden$dx$ist mit den besten (schlechtesten) von ihnen.

Definieren$y=f(x)$Und$x=s(t)$. Berechnen$\dfrac{dy}{dt}$mit Kettenregel:

$$\dfrac{dy}{dt}=\dfrac{dy}{dx}\dfrac{dx}{dt}$$ Nun, um den Vorgang umzukehren, berechnen Sie $$\int \frac{dy}{dx}\dfrac{dx}{dt}dt$$ was nach unseren Annahmen ist $$y=f(x)$$ Jetzt sind Sie gegeben $\dfrac{dy}{dx}$und Sie haben definiert $x$als Funktion von $t$, damit Sie finden können $\dfrac{dx}{dt}$. Ihr Problem ist zu finden $y=f(x)$. Das ist die gesuchte Begründung. Einführung des neuen Parameters $t$geschieht nur, um das Integral zu vereinfachen, und alles folgt aus der Kettenregel. Sie können versuchen, Ihre Funktionen in den obigen Gleichungen zu verwenden.

HINWEIS: Im Integral können Sie die Notation hacken und sagen

$$\int\dfrac{dy}{dx}\dfrac{dx}{dt}dt=\int\dfrac{dy}{dx}dx$$ Bearbeiten Sie nach dem Kommentar
Lassen Sie mich Ihr Beispiel hier verwenden. Du bist gegeben $\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{1}{\sqrt{4-x^2}}$und du willst finden $y=f(x)$, dh die Funktion, deren Ableitung dies ist. Du stellst vor $x=2\sin\theta$. Also weißt du $\dfrac{dx}{d\theta}=2\cos\theta$. Nimm es von hier.