Berechne ∫11−sin4x√dx∫11−sin4⁡xdx\int \frac{1}{\sqrt{1-\sin^4{x}}}dx

Question

Berechne ∫11−sin4x√dx∫11−sin4⁡xdx\int \frac{1}{\sqrt{1-\sin^4{x}}}dx

Arnav Mahajan

$F (X) = \int \frac{1}{\sqrt{1 - {Sünde}^{4} X}} D X$ $f(x) = \int \frac{1}{\sqrt{1-\sin^4{x}}}dx$

Ich habe dies versucht, indem ich den Nenner als gebrochen habe $\sqrt{(\cos^2x)(1+\sin^2x)}$ und dann versuchen, das Integral in Formen von zu bilden $\sec x$ Und $\tan x$ . Aber es gelang mir nicht.

Kann mir bitte jemand weiterhelfen?

Ty.

Gibt es Grenzen?

Varun Vejalla

WolframAlpha konnte dies auswerten, obwohl das Ergebnis chaotisch ist.

Varun Vejalla

Wenn Sie dies in den Integralrechner stecken und auf "Schritte anzeigen" klicken, erhalten Sie eine ziemlich detaillierte Komplettlösung.

Arnav Mahajan

@ Ty. Nein, es gibt keine Grenzen.

zwim

@VVejalla Ich kannte diesen Link nicht, interessanterweise gibt er die menschliche Lösung, bei der andere CAS eine komplizierte oder elliptische Darstellung geben. Danke.

Antworten (2)

Berechne ∫11−sin4x√dx∫11−sin4⁡xdx\int \frac{1}{\sqrt{1-\sin^4{x}}}dx

WolframAlpha konnte dies auswerten, obwohl das Ergebnis chaotisch ist.
Wenn Sie dies in den Integralrechner stecken und auf "Schritte anzeigen" klicken, erhalten Sie eine ziemlich detaillierte Komplettlösung.
@VVejalla Ich kannte diesen Link nicht, interessanterweise gibt er die menschliche Lösung, bei der andere CAS eine komplizierte oder elliptische Darstellung geben. Danke.

Ty. · Answer 1

ICH = \int \frac{Sek X}{\sqrt{1 + {Sünde}^{2} X}} D X

$I=\int \frac{\sec{x}}{\sqrt{1+\sin^2{x}}} \; dx$ Multiplizieren Sie die Ober- und Unterseite mit

\sec x

$\sec{x}$ :

ICH = \int \frac{{Sek}^{2} X}{\sqrt{{bräunen}^{2} X + {Sek}^{2} X}} D X

$I=\int \frac{\sec^2{x}}{\sqrt{\tan^2{x}+\sec^2{x}}} \; dx$

ICH = \int \frac{{Sek}^{2} X}{\sqrt{2 {bräunen}^{2} X + 1}} D X

$I=\int \frac{\sec^2{x}}{\sqrt{2\tan^2{x}+1}} \; dx$ Lassen

u = \tan x

$u=\tan{x}$ :

ICH = \int \frac{D u}{\sqrt{2 u^{2} + 1}}

$I=\int \frac{du}{\sqrt{2u^2+1}}$ Lassen

t = u \sqrt{2}

$t=u\sqrt{2}$ :

ICH = \frac{\sqrt{2}}{2} \int \frac{D T}{\sqrt{T^{2} + 1}}

$I=\frac{\sqrt{2}}{2} \int \frac{dt}{\sqrt{t^2+1}}$ Lassen

t = \tan w

$t=\tan{w}$ :

ICH = \frac{\sqrt{2}}{2} \int Sek w D w

$I=\frac{\sqrt{2}}{2} \int \sec{w} \; dw$

ICH = \frac{\sqrt{2}}{2} \ln | Sek w + bräunen w | + C

$I=\frac{\sqrt{2}}{2} \ln {\big | \sec{w}+\tan{w} \big |}+C$

ICH = \frac{\sqrt{2}}{2} \ln | \sqrt{1 + 2 {bräunen}^{2} X} + \sqrt{2} bräunen X | + C

$I=\frac{\sqrt{2}}{2} \ln {\big | \sqrt{1+2\tan^2{x}}+\sqrt{2}\tan{x} \big |}+C$

Eine "einfachere" Form kann auch sein $\frac 1{\sqrt{2}}\sinh^{-1}(\sqrt{2}\tan(x))$ .
WAHR. Ich versuche, hyperbolische Trigger zu vermeiden, weil ich normalerweise nie weiß, ob OP damit vertraut ist.
$\sqrt{\cos^2 x} \neq \cos x$ . $\sqrt{\cos^2 x} = |\cos x|$ , also solltest du haben $|\sec x|$ im Zähler Ihres ersten Integranden. Sie haben diese Auslassung in der zweiten Zeile wiederholt, als Sie tatsächlich mit multipliziert haben $|\sec x| / |\sec x|$ aber anders beschrieben.

zkutch · Answer 2

Nehmen $t = \tan \frac{x}{2}$ und haben $\sin x = \frac{2t}{1+t^2}$ wir kommen zur irrationalen Funktion.

Berechne ∫11−sin4x√dx∫11−sin4⁡xdx\int \frac{1}{\sqrt{1-\sin^4{x}}}dx

Arnav Mahajan

Ty.

Varun Vejalla

Varun Vejalla

Arnav Mahajan

zwim

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Ty.

zwim

Ty.

Eric Türme

zkutch

Was ist der offensichtliche Widerspruch in diesem Integral?

Berechne ∫sin(x−α)sin(x+α)−−−−−−√dx∫sin⁡(x−α)sin⁡(x+α)dx\int \sqrt{ \frac {\sin(x -\alpha)} {\sin(x+\alpha)} }\,\operatorname d\!x?

Integriere ∫dxsin3xsin(x+α)√∫dxsin3⁡xsin⁡(x+α)\int \frac{dx}{\sqrt{\sin^3x\sin(x+\alpha)}}

Geschlossene Form des bestimmten Integrals von 2006 MIT Integration Bee [geschlossen]

Auswertung des unbestimmten Integrals ∫log(x+x2−1−−−−−√)dx∫log(x+x2−1)dx\int\log\!\left(x+\sqrt{x^2-1}\ rechts)\!dx

Gibt es Einschränkungen, die ich für die Integration durch trigonometrische Substitution vergessen habe, oder mache ich einen anderen Fehler?

Vereinen Sie verschiedene Formen von ∫1A+cosxdx∫1A+cos⁡xdx\int \frac{1}{A + \cos x} \,\text{d}x

Wie kann ich ∫e2x−1e3x+ex√dx∫e2x−1e3x+exdx\int\frac{e^{2x}-1}{\sqrt{e^{3x}+e^x} } \mathop{dx integrieren }?

Integral: ∫dx(x2−4x+13)2∫dx(x2−4x+13)2\int \dfrac{dx}{(x^2-4x+13)^2}?

Was ist die formale Definition eines unbestimmten Integrals?