Gibt es Einschränkungen, die ich für die Integration durch trigonometrische Substitution vergessen habe, oder mache ich einen anderen Fehler?

Ich habe mit einigen Integrationsproblemen herumgespielt, die ich zuvor korrekt gelöst hatte. Ich habe versucht, einen etwas anderen Ansatz zu verfolgen, und ich bekomme eine scheinbar etwas falsche Antwort. Die ursprünglichen Probleme sind:

$$\int \frac{x+2}{\sqrt{4-x^2}}\,dx \\[30pt]$$

Ich habe das Problem zuvor gelöst, indem ich es aufgeteilt habe als:

$$\int \frac{x}{\sqrt{4-x^2}}\,dx + 2\int \frac{1}{\sqrt{4-x^2}}\,dx \\[30pt]$$

Letztendlich fand ich die richtige Antwort:

$$2\cdot\sin^{-1}\Big(\frac{x}{2}\Big)-\sqrt{4-x^2}+C \\[30pt]$$

Als nächstes versuchte ich, das Problem durch trigonometrische Substitution zu lösen, ohne es aufzuteilen. Meine Arbeit ist wie folgt:

$$\int \frac {x+2}{\sqrt{4-x^2}}\,dx = \int \frac {x+2}{\sqrt{4(1-\frac{1}{4}x^2)}}\,dx = \frac{1}{2}\int\frac{x+2}{\sqrt{1-\frac{1}{4}x^2}}\,dx \\[30pt]$$

Hier beginne ich die trigonometrische Substitution mit:

$$\frac{1}{2}x=\sin(\theta)\implies x=2\cdot \sin(\theta); dx=2\cdot \cos(\theta)\,d\theta \\[30pt]$$

Meine Arbeit geht daher wie folgt weiter:

$$\frac{1}{2}\int\frac{x+2}{\sqrt{1-\frac{1}{4}x^2}}\,dx = \frac{1}{2}\int\frac{(2\cdot\sin(\theta)+2)}{\sqrt{1-\sin^2(\theta)}}\cdot(2\cdot \cos(\theta))\,d\theta = \\[30pt] \frac{1}{2}\int\frac{(2\cdot\sin(\theta)+2)}{\sqrt{\cos^2(\theta)}}\cdot(2\cdot \cos(\theta))\,d\theta = \frac{1}{2}\int\frac{(2\cdot\sin(\theta)+2)}{\cos(\theta)}\cdot(2\cdot \cos(\theta))\,d\theta = \\[30pt] \int (2\cdot\sin(\theta)+2)\,d\theta = 2\int (\sin(\theta)+1)\,d\theta = 2(\theta-\cos(\theta))+C = \\[30pt] 2\theta - 2\cos(\theta)+C \\[30pt]$$

Jetzt lösen für$\theta$Ich bekomme$\theta = \sin^{-1}\big(\frac{x}{2}\big)$und das Lösen mit einem rechtwinkligen Dreieck finde ich$\cos(\theta) = \sqrt{4-x^2} \\[30pt]$.

Somit scheint die endgültige Antwort - wieder für x einzusetzen - zu sein:

$$2\cdot \sin^{-1}\Big( \frac{x}{2}\Big)-2\sqrt{4-x^2}+C \\[30pt]$$

Aber:

$$2\cdot \sin^{-1}\Big( \frac{x}{2}\Big)-2\sqrt{4-x^2}+C \neq 2\cdot\sin^{-1}\Big(\frac{x}{2}\Big)-\sqrt{4-x^2}+C \\[30pt]$$

Was fehlt mir also? Gibt es eine Regel, die erfordert, dass Probleme wie diese aufgeteilt werden, bevor trigonometrische Substitution verwendet wird? Habe ich irgendwo in meinen Berechnungen/Algebra einen Fehler gemacht?