Integriere ∫sinxcosxsin4x+cos4xdx∫sin⁡xcos⁡xsin4⁡x+cos4⁡xdx\int \frac{\sin x \cos x}{\sin^4x + \cos^4x} \,dx

$$\frac{\sin x\cos x}{\sin^4 x + \cos^4 x} = \frac{\sin 2x}{2(1 - 2\sin^2x \cos^2 x)} = \frac{\sin 2x}{2 - (1-\cos 2x)(1 + \cos 2x)}$$

Ersatz$u = \cos 2x$zu bekommen

$$-\frac{1}{2}\int\frac{du}{1+u^2} = -\frac{1}{2}\arctan u = \color{blue}{-\frac{1}{2}\arctan (\cos 2x)}$$

Zuerst einige vorbereitende Manipulationen.

$$\frac{\sin x \cos x}{\sin^4x + \cos^4x} = \frac{\sin x \cos x}{(1-\cos^2x)^2 + \cos^4x}\\=\frac{\sin x \cos x}{2\cos^4x -2\cos^2x+1}=\frac{4\sin x \cos x}{8\cos^4x -8\cos^2x+1 + 3}\\=\frac{4\sin x \cos x}{\cos4x+ 3}$$

Der letzte Schritt verwendet die Vierwinkelformel für Kosinus . Jetzt$\sin 2x = 2\sin x \cos x$, wenn Sie dies zweimal verwenden, erhalten Sie:

$$\frac{4\sin x \cos x}{\cos4x+ 3}=\frac{2\sin 2x }{\cos4x+ 3} =\frac{2\sin 2x \cos 2x}{(\cos4x+ 3)\cos 2x} = \frac{\sin 4x }{(\cos4x+ 3)\cos 2x}$$

Wir können jetzt die Halbwinkelformel für Kosinus verwenden , was ist$\cos\frac{x}{2}=\sqrt{\frac{1+\cos x}{2}}$.

$$\frac{\sin 4x }{(\cos4x+ 3)\cos 2x}=\frac{\sin 4x }{(\cos4x+ 3)\sqrt{\frac{1+\cos 4x}{2}}} \\=\frac{\sqrt{2} \times \sin 4x }{(\cos4x+ 3)\sqrt{\cos 4x + 3 - 2}}$$

Die Zeit ist reif, um sie zu ersetzen$u=\cos 4x +3$. Dann$du = -4\sin 4x \ dx$Und

$$\int \frac{\sqrt{2} \times \sin 4x }{(\cos4x+ 3)\sqrt{\cos 4x + 3 - 2}} \ dx\\ = \frac{\sqrt{2}}{-4}\int \frac{1}{u\sqrt{u - 2}} \ du$$

Um dieses relativ einfache Integral abzuschließen, habe ich noch eine Substitution vorgenommen, diesmal mit$t=\sqrt{u-2}$Und$du =2t \ dt$.

$$\frac{\sqrt{2}}{-4}\int \frac{1}{u\sqrt{u - 2}} \ du = \frac{\sqrt{2}}{-4}\int \frac{2t}{ut} \ dt\\=\frac{\sqrt{2}}{-2}\int \frac{1}{t^2 +2} \ dt$$

Dies ist ein Integral, das beinhaltet$\arctan$:

$$\frac{\sqrt{2}}{-2}\int \frac{1}{t^2 +2} \ dt=-\frac{1}{2}\arctan(\frac{t}{\sqrt{2}})=-\frac{1}{2}\arctan(\frac{\sqrt{u-2}}{\sqrt{2}})\\=-\frac{1}{2}\arctan(\sqrt{\frac{\cos 4x +1}{2}})=-\frac{1}{2} \arctan(\cos 2x)$$

Die Überprüfung mit wolframalpha unterscheidet dies zum richtigen Ergebnis.

Hinweis:

Teile Zähler & Nenner durch$\cos^4x$

und einstellen$\tan^2x=u$

Alternativ der Divisor$=\sin^4x$

und die Substitution$=\cot^2x=v$

$u = \cos 2t \implies du = -2\sin 2t dt$

$$\begin{align}\dfrac{-1}2\int \frac{\sin x \cos x}{\sin^4x + \cos^4x}\dfrac{du}{\sin 2t} =& \dfrac{-1}4\int \frac{1}{\sin^4x + \cos^4x}du &\\=& \dfrac{-1}2\int \frac{1}{(\cos^2x + \sin^2x)^2 +(\cos^2x - \sin^2x)^2 } &\\=& \dfrac{-1}2\int \frac{1}{1+u^2 }du = \dfrac{-1}{2}\tan^{-1}(\cos 2x) + C\end{align}$$

$$\int \frac{\sin x \cos x}{\sin ^{4} x+\cos ^{4} x} d x=\int \frac{\frac{\sin 2 x}{2}}{1-\frac{\sin ^{2} 2 x}{2}} d x =\int \frac{\sin 2 x}{2-\sin ^{2} 2 x} d x =-\frac{1}{2} \int \frac{d(\cos (2 x))}{1+\cos ^{2}(2 x)} \\\boxed{=-\frac{1}{2} \arctan (\cos 2 x)+C}$$