Integral von ∫cos4x+sin4x1+cos4x√dx∫cos4⁡x+sin4⁡x1+cos⁡4xdx\int{\frac{\cos^4x + \sin^4x}{\sqrt{1 + \cos 4x}}dx }

Question

Integral von ∫cos4x+sin4x1+cos4x√dx∫cos4⁡x+sin4⁡x1+cos⁡4xdx\int{\frac{\cos^4x + \sin^4x}{\sqrt{1 + \cos 4x}}dx }

Infinitesimalrechnung
Integration
Mathematik
Trigonometrie
unbestimmte Integrale

Der Kenner

Wie integrieren wir Folgendes?

$\int{\frac{\cos^4x + \sin^4x}{\sqrt{1 + \cos 4x}}dx}$ gegeben das $\cos 2x \gt 0$

Ich habe versucht, dies zu vereinfachen, aber ich komme anscheinend nicht weiter als mit dem folgenden Formular:

$\int{\frac{\sec2x}{\sqrt{2}}dx + \sqrt{2}\int{\frac{\sin^2x\cos^2x}{\cos2x}dx}}$

$\implies \frac{1}{2\sqrt2}\log |\sec 2x + \tan 2x| + \sqrt{2}\int{\frac{\sin^2x\cos^2x}{\cos^2x-\sin^2x}dx} + C$

Die Antwort, die ich bekommen soll, ist:

$\frac{x}{\sqrt2}+C$

Bitte helfen, danke!

Antworten (5)

Integral von ∫cos4x+sin4x1+cos4x√dx∫cos4⁡x+sin4⁡x1+cos⁡4xdx\int{\frac{\cos^4x + \sin^4x}{\sqrt{1 + \cos 4x}}dx }

Michael Rosenberg · Answer 1

Verwenden

\frac{{Sünde}^{4} X + \cos^{4} X}{\sqrt{1 + \cos 4 X}} = \frac{1 - \frac{1}{2} {Sünde}^{2} 2 X}{\sqrt{2} \cos 2 X} = \frac{\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cos^{2} 2 X}{\sqrt{2} \cos 2 X} = \frac{\cos 2 X}{2 \sqrt{2} (1 - {Sünde}^{2} 2 X)} + \frac{1}{2 \sqrt{2}} \cos 2 X =

$\frac{\sin^4x+\cos^4x}{\sqrt{1+\cos4x}}=\frac{1-\frac{1}{2}\sin^22x}{\sqrt2\cos2x}=\frac{\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\cos^22x}{\sqrt2\cos2x}=\frac{\cos2x}{2\sqrt2(1-\sin^22x)}+\frac{1}{2\sqrt2}\cos2x=$

= \frac{1}{4 \sqrt{2}} (\frac{\cos 2 X}{1 + Sünde 2 X} + \frac{\cos 2 X}{1 - Sünde 2 X}) + \frac{1}{2 \sqrt{2}} \cos 2 X .

$=\frac{1}{4\sqrt2}\left(\frac{\cos2x}{1+\sin2x}+\frac{\cos2x}{1-\sin2x}\right)+\frac{1}{2\sqrt2}\cos2x.$

Es tut mir leid, ich habe einen Fehler in der Frage gemacht ... Lassen Sie mich es korrigieren.
Dort! Der $1 + \cos4x$ im Nenner sollte unter einer Wurzel stehen
Sollte nicht die Vereinfachung von $\frac{\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\cos^22x}{\sqrt2\cos2x}$ Sei $\frac{1 + \cos^22x}{2\sqrt2\cos2x}$ ? Was würde dann geben $\frac{1}{2\sqrt{2}\cos2x} + \frac{cos2x}{2\sqrt{2}}$ ?
Den Rest habe ich verstanden, aber wenn ich versuche, von Schritt 4 zu Schritt 3 zurückzukehren, bekomme ich eine andere Antwort. Dh ich bekomme $\frac{1+cos2x}{2\sqrt2 cos2x}$ anstatt $\frac{1+cos^22x}{2\sqrt2 cos2x}$ :/
Es sollte sein $\frac{1+\cos^22x}{2\sqrt2\cos2x}$ Weil $\sin^22x=1-\cos^22x.$ Ich kann einen anderen Weg zeigen, um es zu bekommen, wenn Sie wollen.
Daran habe ich keine Zweifel. Ich spreche von dem Schritt, der nach der oben erwähnten Substitution kommt. Was ich versuche zu sagen, ist Ihre Erweiterung von $\frac{1+cos^22x}{2\sqrt2cos2x}$ könnte falsch sein...
$\frac{1+\cos^22x}{2\sqrt2\cos2x}=\frac{\cos2x}{2\sqrt2\cos^22x}+\frac{\cos2x}{2\sqrt2}.$ Stimmst du mir zu?
OMG, die ganze Zeit habe ich mich verlesen $1-sin^22x$ als $1-2sin^22x$ ... Es tut mir wirklich leid für die entstandenen Unannehmlichkeiten. Ja, da stimme ich dir voll und ganz zu :)

Labor bhattacharjee · Answer 2

Verwenden $\cos2x=1-2\sin^2x=2\cos^2x-1,$

ICH = \frac{{Sünde}^{4} X + \cos^{4} X}{\sqrt{1 + \cos 4 X}} = \frac{(1 - \cos 2 X)^{2} + (1 + \cos 2 X)^{2}}{4 \sqrt{2} | \cos 2 X |} = \frac{1 + \cos^{2} 2 X}{2 \sqrt{2} | \cos 2 X |}

$I=\dfrac{\sin^4x+\cos^4x}{\sqrt{1+\cos4x}}=\dfrac{(1-\cos2x)^2+(1+\cos2x)^2}{4\sqrt2|\cos2x|}=\dfrac{1+\cos^22x}{2\sqrt2|\cos2x|}$

Für $\cos2x>0,$

2 \sqrt{2} ICH = Sek 2 X + \cos 2 X

$2\sqrt2I=\sec2x+\cos2x$

Verwenden Sie nun das Integral der Sekantenfunktion

Rudr Pratap Singh · Answer 3

Ich habe herausgefunden, warum niemand diese Antwort bekommt: Die Frage ist falsch, die (richtige) Frage ist falsch

\int \frac{\cos^{4} X - {Sünde}^{4} X}{\sqrt{1 + \cos 4 X}} D X

$\int \frac{\cos^4 x-\sin^4 x}{\sqrt{1+\cos4x}} \ \text{d}x$

@Rócherz kannst du uns helfen, mathematische Gleichungen zu schreiben, wie du sie bearbeitet hast?
Damit ist die Frage nicht beantwortet. Sobald Sie über einen ausreichenden Ruf verfügen , können Sie jeden Beitrag kommentieren . Geben Sie stattdessen Antworten an, die keine Klärung durch den Fragesteller erfordern . - Aus Bewertung
@ user264745 Dies beantwortet tatsächlich die Frage, obwohl die Umstände hier ziemlich ungewöhnlich erscheinen, aber diese Antwort löst anscheinend die Verwirrung.

haqnatürlich · Answer 4

$\int \frac{\cos^{4} X + {Sünde}^{4} X}{\sqrt{1 + \cos 4 X}} D X = \frac{1}{\sqrt{2}} \int \frac{{({Sünde}^{2} X + \cos^{2} X)}^{2} - 2 {Sünde}^{2} X \cos^{2} X}{\sqrt{\cos^{2} 2 X}} D X = = \frac{1}{\sqrt{2}} \int \frac{1 - \frac{{Sünde}^{2} 2 X}{2}}{\cos 2 X} D X = \frac{1}{2 \sqrt{2}} \int \frac{2 - {Sünde}^{2} 2 X}{\cos 2 X} D X = = \frac{1}{2 \sqrt{2}} \int \frac{\cos^{2} 2 X + 1}{\cos 2 X} D X = \frac{1}{2 \sqrt{2}} [\int \cos 2 X D X + \int \frac{D X}{\cos 2 X}] = = \frac{1}{4 \sqrt{2}} \int D (Sünde 2 X) + \frac{1}{2 \sqrt{2}} \int \frac{\cos 2 X D X}{\cos^{2} 2 X} = = \frac{Sünde 2 X}{4 \sqrt{2}} + \frac{1}{4 \sqrt{2}} \int \frac{D (Sünde 2 X)}{1 - {Sünde}^{2} 2 X} = \frac{Sünde 2 X}{4 \sqrt{2}} + \frac{1}{8 \sqrt{2}} [\int \frac{D (Sünde 2 X)}{1 - Sünde 2 X} + \int \frac{D (Sünde 2 X)}{1 + Sünde 2 X}] = = \frac{Sünde 2 X}{4 \sqrt{2}} + \frac{1}{8 \sqrt{2}} [\int \frac{D (1 + Sünde 2 X)}{1 + Sünde 2 X} - \int \frac{D (1 - Sünde 2 X)}{1 - Sünde 2 X}] = = \frac{Sünde 2 X}{4 \sqrt{2}} + \frac{1}{8 \sqrt{2}} \ln | \frac{1 + Sünde 2 X}{1 - Sünde 2 X} | + C$ $\int { \frac { \cos ^{ 4 } x+\sin ^{ 4 } x }{ \sqrt { 1+\cos4x } } dx } =\frac { 1 }{ \sqrt { 2 } } \int { \frac { { \left( \sin ^{ 2 }{ x+\cos ^{ 2 }{ x } } \right) }^{ 2 }-2\sin ^{ 2 }{ x\cos ^{ 2 }{ x } } }{ \sqrt { \cos ^{ 2 }{ 2x } } } dx } =\\ =\frac { 1 }{ \sqrt { 2 } } \int { \frac { 1-\frac { \sin ^{ 2 }{ 2x } }{ 2 } }{ \cos { 2x } } } dx=\frac { 1 }{ 2\sqrt { 2 } } \int { \frac { 2-\sin ^{ 2 }{ 2x } }{ \cos { 2x } } } dx=\\ =\frac { 1 }{ 2\sqrt { 2 } } \int { \frac { \cos ^{ 2 }{ 2x } +1 }{ \cos { 2x } } } dx=\frac { 1 }{ 2\sqrt { 2 } } \left[ \int { \cos { 2xdx } } +\int { \frac { dx }{ \cos { 2x } } } \right] =\\ =\frac { 1 }{ 4\sqrt { 2 } } \int { d\left( \sin { 2x } \right) } +\frac { 1 }{ 2\sqrt { 2 } } \int { \frac { \cos { 2xdx } }{ \cos ^{ 2 }{ 2x } } } =\\ =\frac { \sin { 2x } }{ 4\sqrt { 2 } } +\frac { 1 }{ 4\sqrt { 2 } } \int { \frac { d\left( \sin { 2x } \right) }{ 1-\sin ^{ 2 }{ 2x } } } =\frac { \sin { 2x } }{ 4\sqrt { 2 } } +\frac { 1 }{ 8\sqrt { 2 } } \left[ \int { \frac { d\left( \sin { 2x } \right) }{ 1-\sin { 2x } } } +\int { \frac { d\left( \sin { 2x } \right) }{ 1+\sin { 2x } } } \right] =\\ =\frac { \sin { 2x } }{ 4\sqrt { 2 } } +\frac { 1 }{ 8\sqrt { 2 } } \left[ \int { \frac { d\left( 1+\sin { 2x } \right) }{ 1+\sin { 2x } } } -\int { \frac { d\left( 1-\sin { 2x } \right) }{ 1-\sin { 2x } } } \right] =\\ =\frac { \sin { 2x } }{ 4\sqrt { 2 } } +\frac { 1 }{ 8\sqrt { 2 } } \ln { \left| \frac { 1+\sin { 2x } }{ 1-\sin { 2x } } \right| + } C\\$

Das ist ziemlich gut, aber wie soll ich das zu der gegebenen Antwort vereinfachen?
du kannst vereinfachen $\sin { 2x } =2\sin { x } \cos { x }$ oder Sie gehen weiter als $\ln { \left| \frac { 1+\sin { 2x } }{ 1-\sin { 2x } } \right| = } \ln { \left| \frac { \sin ^{ 2 }{ x } +2\sin { x\cos { x } +\cos ^{ 2 }{ x } } }{ \sin ^{ 2 }{ x } -2\sin { x\cos { x } +\cos ^{ 2 }{ x } } } \right| = } \\ =\ln { \left| \frac { { \left( \sin { x } +\cos { x } \right) }^{ 2 } }{ { \left( \sin { x } -\cos { x } \right) }^{ 2 } } \right| = } \ln { \left| \frac { \sin { x+\cos { x } } }{ \sin { x } -\cos { x } } \right| }$
Das habe ich auch gemacht, aber das ist bei weitem nicht die erforderliche Antwort ... aber ich denke, es ist etwas, das ich früher nicht einmal integrieren konnte: D
Wie kann es eine Antwort sein?) Sie meinen, die Ableitung Ihrer Antwort ist der Ausdruck unter Integral, richtig?
Das ist natürlich falsch $\sqrt{2\cos^22x}=\sqrt{2}\cos2x$ . Andererseits gilt in jedem Intervall, in dem die Funktion definiert ist, $\cos2x$ hat ein konstantes Vorzeichen, sodass das Argument leicht berichtigt werden kann.

Rocherz · Answer 5

Wenn $\cos 2x > 0$ und der Integrand ist falsch , wie Rudr Pratap Singh darauf hinweist, dann:

\begin{aligned} \frac{\cos^{4} X - {Sünde}^{4} X}{\sqrt{1 + \cos 4 X}} & = \frac{(\cos^{2} X + {Sünde}^{2} X) (\cos^{2} X - {Sünde}^{2} X)}{\sqrt{2 \cos^{2} 2 X}} \\ = \frac{(1) (\cos 2 X)}{\sqrt{2} | \cos 2 X |} \\ = \frac{1}{\sqrt{2}} . \end{aligned}

$\begin{align} \frac{\cos^4 x-\sin^4 x}{\sqrt{1+\cos 4x}} &= \frac{(\cos^2x+\sin^2x)(\cos^2x-\sin^2x)}{\sqrt{2\cos^2 2x}} \\ &= \frac{(1)(\cos 2x)}{\sqrt2|\cos2x|} \\ &= \frac 1 {\sqrt2}. \end{align}$ Somit,

\int \frac{\cos^{4} X - {Sünde}^{4} X}{\sqrt{1 + \cos 4 X}} D X = \frac{X}{\sqrt{2}} + C,

$\int \frac{\cos^4x-\sin^4x}{\sqrt{1+\cos 4x}} \ \text dx = \frac x {\sqrt2} +c,$ wie von OP gewünscht

Integral von ∫cos4x+sin4x1+cos4x√dx∫cos4⁡x+sin4⁡x1+cos⁡4xdx\int{\frac{\cos^4x + \sin^4x}{\sqrt{1 + \cos 4x}}dx }

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