Wie löst man ∫dx4−x2√∫dx4−x2\int\frac{dx}{\sqrt{4-x^2}} mit trigonometrischer Substitution?

Das Integral

∫ D X 4 − X 2

Ich habe die Variable gefunden

X = 2 Sünde ⁡ θ

X 2 = 4 Sünde 2 ⁡ θ

D X = 2 cos ⁡ θ D θ

Was mir durch Substitution gegeben hat

∫ 2 cos ⁡ θ 4 − 4 Sünde 2 ⁡ θ D θ
∫ cos ⁡ θ 2 − Sünde ⁡ θ D θ
1 2 ∫ cos ⁡ θ D θ − ∫ cos ⁡ θ Sünde ⁡ θ D θ
1 2 ∫ cos ⁡ θ D θ − ∫ Kinderbett ⁡ θ D θ
= Sünde ⁡ θ 2 − ln ⁡ | Sünde ⁡ θ | + C

Wenn ich mir jetzt die erwartete Antwort anschaue, sollte es so sein

arcsin ⁡ ( X 2 ) + C

Was vermisse ich ?

@BrianM.Scott Entschuldigung, es war ein Tippfehler, bearbeitet.
Es ist besser, aber der erste Schritt ist immer noch aus: Wo machst du den ersten? 4 im Nenner? Du solltest haben
4 − 4 Sünde 2 ⁡ θ = 4 cos 2 ⁡ θ = 2 cos ⁡ θ .
Ups, eigentlich denke ich, dass der Nenner sein sollte 4 − 4 Sünde 2 ⁡ θ Rechts ? Ich habe gerade Ihre Bearbeitung gesehen, großartig, das war wahrscheinlich mein Fehler. Lassen Sie mich sehen, ob ich es beheben kann.
@BrianM.Scott wie geht das 4 − 4 S ich N 2 θ wird 4 C Ö S 2 θ ?
4 − 4 Sünde 2 ⁡ θ = 4 ( 1 − Sünde 2 ⁡ θ ) = 4 cos 2 ⁡ θ , von der Identität Sünde 2 ⁡ θ + cos 2 ⁡ θ = 1 . Das ist eigentlich der Grund , warum Sie die trigonometrische Substitution verwenden.
@BrianM.Scott Toll, dann konnte ich das lösen θ , aber wie wird das arcsin ⁡ ( X 2 ) ?
Erinnere dich daran X = 2 Sünde ⁡ θ , und löse auf θ bezüglich X .
Ich verstehe, naja, vielen Dank, jetzt verstehe ich!
Gern geschehen!
Ist nicht X = 2 T , also wird das Integral ∫ 1 1 − T 2 D T = arcsin ⁡ T + C , Einfacher? Was ist der Zweck einer komplizierten trigonometrischen Substitution?
@egreg Wir wissen bereits, dass es eine einfachere Lösung gibt, aber wenn wir anfangen, die trigonometrische Substitution zu lernen, bitten sie uns, den einfachen Fall zu beweisen.

Antworten (4)

Ersatz von X = 2 Sünde ⁡ θ impliziert, dass 4 − X 2 = 4 − 4 Sünde 2 ⁡ θ = 2 cos ⁡ θ . Dann,

∫ D X 4 − X 2 = ∫ cos ⁡ θ D θ cos ⁡ θ = θ + C
Wo C ist eine Integrationskonstante. Aber, θ = arcsin ⁡ ( X 2 ) . So,

∫ D X 4 − X 2 = arcsin ⁡ ( X 2 ) + C

Ihre Ersetzung ist korrekt, aber Sie hätten es tun sollen 4 − 4 Sünde 2 ⁡ θ im Nenner. Sie können die Quadratwurzel nicht brechen, wie Sie es getan haben. Darüber hinaus, cos ⁡ θ 2 − Sünde ⁡ θ ist nicht dasselbe wie 1 2 cos ⁡ θ − cos ⁡ θ Sünde ⁡ θ . Versuchen Sie dies mit Zahlen; es funktioniert dort nicht und es funktioniert hier auch nicht.

Danke für die Antwort, aber Brian M. Scott hat bereits in den Kommentaren darauf hingewiesen.

Dein großer Fehler ist, dass du das anscheinend gedacht hast 4 − 4 Sünde 2 ⁡ θ ist das gleiche wie 4 − 4 Sünde 2 ⁡ θ . Danach ist nichts mehr in Ordnung.

Müssen Sie trigonometrische Substitution verwenden? Weil Sie es mit regelmäßiger Substitution einfacher lösen können. Erste:

∫ D X 4 ( 1 − X 2 4 ) = 1 2 ∫ D X 1 − ( X 2 ) 2
Wir verwenden Substitution X 2 = T ; D X 2 = D T .
Jetzt haben wir:
∫ D T 1 − T 2 = A R C S ich N T = A R C S ich N X 2 + C

Wie löst man ∫dx4−x2√∫dx4−x2\int\frac{dx}{\sqrt{4-x^2}} mit trigonometrischer Substitution?
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