Auswertung des unbestimmten Integrals ∫log(x+x2−1−−−−−√)dx∫log(x+x2−1)dx\int\log\!\left(x+\sqrt{x^2-1}\ rechts)\!dx

Teileweise integrieren:

$$x\log(x+\sqrt{x^2-1})-\int x\frac{1+\dfrac{x}{\sqrt{x^2-1}}}{x+\sqrt{x^2-1}}\,dx$$

---

Nun, wo habe ich gesehen$\log(x+\sqrt{x^2-1})$nochmal? Satz$x+\sqrt{x^2-1}=e^t$, So

$$x^2-1=e^{2t}-2xe^t+x^2$$ oder $$2xe^t=e^{2t}+1$$ Und $$x=\cosh t$$ Ein guter Ersatz könnte also dieser sein, nicht wahr? Das Integral wird $$\int t\sinh t\,dt=t\cosh t-\int \cosh t\,dt=t\cosh t-\sinh t$$ und jetzt ist es nur noch Ersatz.

Das Rechnen zeigt direkt, dass der Integrand,

$$\log\!\left(x + \sqrt{x^2 - 1}\right),$$ ist das Gegenteil von (die Beschränkung auf $[0, \infty)$von) der hyperbolischen Kosinusfunktion $$\cosh u := \frac{e^u + e^{-u}}{2};$$ Aus diesem Grund wird hier normalerweise der Integrand bezeichnet $$\text{arcosh x}.$$

Dies legt nahe, dass wir analog zur üblichen Ableitung der Stammfunktionen inverser trigonometrischer Funktionen vorgehen können: Substituieren$x = \cosh u$gibt

$$\int \text{arcosh } x \,dx = \int \text{arcosh} (\cosh u) \,d(\cosh u) = \int u \sinh u \,du.$$ Teilweise Integration anwenden mit $v = u$, $dw = \sinh u \,du$gibt an, dass dies ist $$u \cosh u - \int \cosh u\,du = u \cosh u - \sinh u + C,$$ und umgekehrtes Substituieren, um dies in Bezug auf zu schreiben $x$Erträge $$\text{arcosh } x \cosh (\text{arcosh } x) - \sinh(\text{arcosh } x) + C.$$

Ersetzen$u = \text{arcosh x}$in der vertrauten Identität

$$\cosh^2 u = \sinh^2 u + 1,$$ vereinfachen, neu anordnen und verwenden $\text{arcosh}$nichtnegativ ist (oder alternativ das hyperbolische Analogon eines Referenzdreiecks anspricht) ergibt die Identität $$\sinh (\text{arcosh } x) = \sqrt{x^2 - 1}.$$ Das Einsetzen in den obigen Ausdruck ergibt die Stammfunktion, $$\color{#bf0000}{\int \text{arcosh } x \,dx = x \,\text{arcosh } x - \sqrt{x^2 - 1} + C},$$ was insbesondere mit dem Ergebnis von WolframAlpha übereinstimmt.

Erkenne$\log\left(x+\sqrt{x^2-1}\right)=\cosh^{-1}x$und dann partiell integrieren

$$\int\log\left(x+\sqrt{x^2-1}\right)dx=\int \cosh^{-1}x\>dx = x \cosh^{-1}x-\int \frac x{\sqrt{x^2-1}}dx$$ wobei das verbleibende Integral gerade ist$\sqrt{x^2-1}$.

$\displaystyle \int ln(x+\sqrt{x^{2}-1})dx$

$\displaystyle {we've got }: \; \fbox{ $ ch^{2}(y)-sh^{2}(y)=1,ch(y)=\frac{e^{y}+e^{-y}}{2},sh(y)=\frac{e^{y}-e^{-y}}{2}$ }\\$

$\displaystyle x=ch(y)\Rightarrow dx=sh(y)dy$

$\displaystyle ln(x+\sqrt{x^{2}-1})=ln(ch(y)+sh(y))=y$

$\displaystyle \int ln(x+\sqrt{x^{2}-1})dx =\int y \ sh({y})dy=\int ych'(y)dy$

${we've got }: \;\fbox{ $ \displaystyle \int fg'=fg-\int f'g $ }$

$\displaystyle \int y \ sh({y})dy=y \ ch({y})-\int ch(y)dy=y \ ch({y})-\ sh({y})+c$

$\displaystyle \int ln(x+\sqrt{x^{2}-1})dx=xch^{-1}(x) -\sqrt{x^{2}-1}+c$

$\displaystyle =xln(x+\sqrt{x^{2}-1})-\sqrt{x^{2}-1}+c$