Was ist die formale Definition eines unbestimmten Integrals?

Ich verstehe, dass bestimmte Integrale als Grenzwert von Riemann-Summen definiert werden können, aber ich muss noch eine ähnliche Definition für das unbestimmte Integral sehen. Ich nehme an

∫ F ( X ) D X = { F ( X ) : F ' = F }
könnte den Zweck erfüllen, aber ich bin mir nicht sicher, ob dies wirklich eine zufriedenstellende Definition ist. Alternativ könnten wir mit der Kenntnis des Fundamentalsatzes der Analysis definieren
∫ F ( X ) D X = ∫ A X F ( T ) D T + C
aber diese Definition scheint insofern seltsam, als sie ein ziemlich tiefes Ergebnis verwendet, um etwas zu definieren, das normalerweise sehr früh in Analysisklassen eingeführt wird. Gibt es also eine formale Definition eines unbestimmten Integrals, und wenn ja, was ist sie?

Ein unbestimmtes Integral von F ist jede Funktion, deren Ableitung ist F . Sie ist nicht eindeutig definiert.
Soweit ich weiß, gibt es keine formale Definition der unbestimmten Integration. Dies liegt daran, dass es nicht erforderlich oder nützlich ist, den Menschen schlecht Mathematik beizubringen. Die Verwendung muss vollständig vermieden werden
Es ist einfach eine Stammfunktion und die Notation ∫ F ( X ) D X wird durch den 1. Hauptsatz der Analysis gerechtfertigt.
@KaviRamaMurthy So ist die erste mögliche Definition, die ich gegeben habe, ∫ F ( X ) D X = { F ( X ) : F ' = F } , befriedigend?
Ja, jedes Element Ihrer Menge wird „ein unbestimmtes Integral“ genannt, und es gibt kein „unbestimmtes Integral“.
Wenn man etwas Bestimmtes will, muss man einen Basispunkt angeben, z. F ( X ) = ∫ A X F ( X ' ) D X ' . (Ich notiere das manchmal als F ( X ) = ∫ 0 F ( X ) D X um die Einführung einer Hilfsvariablen zu vermeiden.)
@Semiclassical funktioniert nicht für Funktionen mit getrennter Domäne, wie z F ( X ) := 1 / X . Die Verwendung von unbestimmten Integralen muss vollständig vermieden werden, wenn Sie sie verwenden, werden Sie in die mathematische Hölle gehen.
Siehe hier .
@KaviRamaMurthy: In der Kalkül des ersten und zweiten Jahres ist das ein unbestimmtes Integral, aber darüber hinaus kann man auf Feinheiten stoßen.
@ Bernhard ↑
@MichaelHardy: Spielst du auf Denjoy-Perron-Kurzweil (nicht Kurt Weill ;o))-Henstock-Integral an?
@Bernard: Eigentlich hatte ich etwas weniger Exotisches im Sinn. Vielleicht später mehr.
@Masacroso Ich verstehe nicht, warum Sie denken, dass eine unbestimmte Integration vermieden werden sollte. Könnten Sie das bitte näher erläutern?
Ein unbestimmtes Integral ist nur eine Menge von Stammfunktionen, die sich durch eine Konstante unterscheiden.
@Joe dafür gibt es keine herkömmliche Definition ∫ F ( X ) D X , und jede Definition, die Sie wählen, wird in einigen Fällen schlecht sein: oder sie gilt nur für Funktionen mit verbundenen Domänen, oder sie definiert die Menge der Stammfunktionen von F , in letzterem ist die Notation schrecklich, da sie zu der Annahme verleitet, dass Sie jede Stammfunktion integrieren können, und dies ist für Funktionen mit getrennten Domänen falsch. In jedem Fall fügt die Notation nichts Nützliches hinzu, sondern nur Verwirrung. Wenn Sie von Stammfunktionen sprechen wollen, verwenden Sie einfach dieses Wort, Sie brauchen keine problematische Schreibweise
@Masacroso OK, danke für die Klarstellung. Das macht sehr viel Sinn. Ich habe das Gefühl, dass Stammfunktionen wirklich nur als Rechenwerkzeug betrachtet werden sollten, mit dem Sie in einigen Fällen (bestimmte) Integrale berechnen können. Ich sehe nicht viele andere Anwendungen für sie, im Gegensatz zu Integralen, mit denen unter anderem Flächen und Volumen gefunden werden können. Ist mein Verständnis richtig?
@Joe Stammfunktionen sind nützlich, da sie alle Informationen über Fläche oder Volumen in einer Funktion enthalten. Sie sind wichtig in der Differentialgeometrie und anderen Zweigen der Mathematik
@Masacroso Richtig, Stammfunktionen sind also nützlich; nur die Notation, die wir verwenden, ist sehr irreführend.
@Joe, der Punkt ist, dass Sie keine Notation brauchen, um das zu sagen F ist eine Stammfunktion von F . Eine Stammfunktion einer Funktion F : A → R , für einige A ⊂ R , ist eine Funktion F : A → R so dass F ' = F . Natürlich wann A ein Intervall ist, können Sie zeigen, dass alle Ableitungen von F sind von der Form F ( X ) = C + ∫ A X F ( T ) D T für einige C ∈ R
@Masacroso Nochmals vielen Dank. Du warst sehr hilfreich.

Antworten (1)

Sie sollten sich an die Definition eines unbestimmten Integrals halten.

Gegeben eine Funktion F : ICH → R auf einem offenen Intervall definiert ICH , Wenn F : ICH → R ist eine solche Funktion F ' ( X ) = F ( X ) für jeden X ∈ ICH , dann rufen wir an F eine Stammfunktion der Funktion F . Es ist einfach, die beiden folgenden zwei Tatsachen zu überprüfen:

  • Wenn F ist eine Stammfunktion F auf dem Intervall ICH , dann ist es so F + C für jede Konstante C ;

  • Wenn F Und G sind zwei Stammfunktionen von F , dh, F ' ( X ) = G ' ( X ) = F ( X ) für alle X ∈ ICH , dann existiert (Übung!) eine Konstante C so dass F = G + C .

Wir definieren den Begriff des " unbestimmten Integrals" der Funktion F (Im Intervall ICH ) als Familie von Funktionen:

unbestimmtes Integral von  F = { F : ICH → R ∣ F ' ( X ) = F ( X )   für alle  X ∈ ICH }

Aufgrund dieser beiden obigen Tatsachen schreiben wir

∫ F ( X ) D X = F ( X ) + C
für jede Stammfunktion F von F (Im Intervall ICH ).

Das Problem ist, dass es keine kanonische Definition der unbestimmten Integration gibt, Sie können sich nicht an etwas halten, das nicht existiert.
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