Ist eine unbestimmte Integration verdächtig?

Question

Ist eine unbestimmte Integration verdächtig?

Jo

In diesem Beitrag bemerkt Qiaochu Yuan, dass „es bequem, aber irreführend ist, zu schreiben

\int F (X) D X = G (X)

$\int f(x) \, dx=g(x)$ [wobei die Ableitung von

g

$g$ Ist

f

$f$ ]'. Dieses Gefühl scheint von vielen Mitwirkenden hier geteilt zu werden, und ich verstehe nicht warum. Für mich sind sowohl die definitive als auch die unbestimmte Integration gültige Operationen, die Sie an einer Funktion ausführen können, und an der unbestimmten Integration ist nichts Verdächtiges.

Ich kenne den Fundamentalsatz der Analysis, der (soweit ich verstehe) den Zusammenhang zwischen unbestimmter und bestimmter Integration erklärt. Wenn wir mit Integration die Berechnung der Fläche unter dem Graphen meinen, zeigt uns der Fundamentalsatz der Analysis, dass Integration das Gegenteil von Differentiation ist, da

\frac{D}{D X} \int_{A}^{X} F (T) D T = F (X)

$\frac{d}{dx} \int_{a}^{x} f(t) \, dt = f(x)$ Dies zeigt, dass jede stetige Funktion eine Stammfunktion hat. Da eine klare Verbindung zwischen Integration und Antidifferenzierung hergestellt wurde, geben wir der Stammfunktion die passende Bezeichnung „unbestimmtes Integral“. (Dies erklärt auch, warum die Bezeichnungen für bestimmte und unbestimmte Integration so ähnlich sind.) Diese Bezeichnung ist in Ordnung, solange wir uns daran erinnern, dass Integration als das Auffinden der Fläche unter dem Graphen definiert ist, während Antidifferenzierung als Auffinden der Inversen der Ableitung definiert ist.

Ein weiteres Ergebnis des Fundamentalsatzes der Analysis ist das

\int_{A}^{X} F (T) D T = \int F (X) D X

$\int_{a}^{x}f(t) \, dt=\int f(x) \, dx$ Offensichtlich kann also jedes unbestimmte Integral in bestimmte Integrale umgeschrieben werden, aber ich verstehe die Motivation dahinter nicht. Wenn

F

$F$ ist eine Stammfunktion von

f

$f$ , warum ist es dann richtiger zu schreiben

\int_{A}^{X} F (T) D T = F (X),

$\int_{a}^{x} f(t) \, dt = F(x) \, ,$ im Vergleich zu

\int F (X) D X = F (X) ?

$\int f(x) \, dx = F(x) \, ?$

lulu

Ich kann mir nicht vorstellen, dass irgendjemand die Gültigkeit der Integration in Frage stellt. Aber das unbestimmte Integral so schreiben

A

$A$ . verdunkelt die Natur von

x

$x$ als Dummy-Variable für die Integration und

B .

$B.$ suggeriert fälschlicherweise, dass es nur eine Funktion gibt

f

$f$ das könnte dort verwendet werden. Würden Sie, sagen wir, beides schreiben

\int x d x = \frac{x^{2}}{2}

$\int x\,dx = \frac {x^2}2$ Und

\int x d x = \frac{x^{2}}{2} + 1

$\int x\,dx = \frac {x^2}2+1$ ? Ich nehme an, Sie sehen das Problem darin. Viel besser zu schreiben, z.

\int_{a}^{x} g (x) d x = f (x)

$\int_a^x g(x)\,dx = f(x)$ oder besser,

\int_{a}^{x} g (t) d t = f (x)

$\int_a^x g(t)\,dt = f(x)$

Benutzer2661923

Sprichwort

\int f (x) d x = g (x)

$\int f(x)dx = g(x)$ ist gleichbedeutend damit, das zu sagen

\int f (t) d t = g (x) .

$\int f(t)dt = g(x).$ Dann fragen Sie sich: Wie kann das sein, da es keine Beziehung zwischen gibt

x

$x$ und die Dummy-Variable

t

$t$ . Dann vermeiden Sie die Formalität von

\int_{a}^{x} f (t) d t = g (x)

$\int_a^x f(t)dt = g(x)$ durch die sehr enge Auslegung von

\int f (t) d t = g (x)

$\int f(t)dt = g(x)$ nur als Hinweis darauf

g^{'} (x) = f (x) .

$g'(x) = f(x).$

Henry

Vermuten

f (x) = \sin (x) \cos (x)

$f(x)=\sin(x) \cos(x)$ . Eine Person könnte eine Stammfunktion von finden

\frac{1}{2} \sin^{2} (x)

$\frac12 \sin^2(x)$ . Ein anderer könnte finden

- \frac{1}{2} \cos^{2} (x)

$-\frac12 \cos^2(x)$ . Ein dritter könnte kommen

- \frac{1}{4} \cos (2 x)

$-\frac14 \cos(2x)$ . Diese sind offensichtlich unterschiedlich (der erste ist nicht negativ und der zweite nicht positiv), aber sie sind gleichermaßen richtig (oder falsch) und unterscheiden sich durch Konstanten

JonathanZ unterstützt MonicaC

Ich denke gerne, dass Sie diese Notation verwenden können, aber dann müssen Sie vorsichtig sein, um zu erkennen, dass "

=

$=$ " bedeutet etwas anderes. Möglicherweise finden Sie diese Antwort auf eine frühere ähnliche Frage hilfreich.

Antworten (7)

Ist eine unbestimmte Integration verdächtig?

Ich kann mir nicht vorstellen, dass irgendjemand die Gültigkeit der Integration in Frage stellt. Aber das unbestimmte Integral so schreiben $A$ . verdunkelt die Natur von $x$ als Dummy-Variable für die Integration und $B.$ suggeriert fälschlicherweise, dass es nur eine Funktion gibt $f$ das könnte dort verwendet werden. Würden Sie, sagen wir, beides schreiben $\int x\,dx = \frac {x^2}2$ Und $\int x\,dx = \frac {x^2}2+1$ ? Ich nehme an, Sie sehen das Problem darin. Viel besser zu schreiben, z. $\int_a^x g(x)\,dx = f(x)$ oder besser, $\int_a^x g(t)\,dt = f(x)$
Sprichwort $\int f(x)dx = g(x)$ ist gleichbedeutend damit, das zu sagen $\int f(t)dt = g(x).$ Dann fragen Sie sich: Wie kann das sein, da es keine Beziehung zwischen gibt $x$ und die Dummy-Variable $t$ . Dann vermeiden Sie die Formalität von $\int_a^x f(t)dt = g(x)$ durch die sehr enge Auslegung von $\int f(t)dt = g(x)$ nur als Hinweis darauf $g'(x) = f(x).$
Vermuten $f(x)=\sin(x) \cos(x)$ . Eine Person könnte eine Stammfunktion von finden $\frac12 \sin^2(x)$ . Ein anderer könnte finden $-\frac12 \cos^2(x)$ . Ein dritter könnte kommen $-\frac14 \cos(2x)$ . Diese sind offensichtlich unterschiedlich (der erste ist nicht negativ und der zweite nicht positiv), aber sie sind gleichermaßen richtig (oder falsch) und unterscheiden sich durch Konstanten
Ich denke gerne, dass Sie diese Notation verwenden können, aber dann müssen Sie vorsichtig sein, um zu erkennen, dass " $=$ " bedeutet etwas anderes. Möglicherweise finden Sie diese Antwort auf eine frühere ähnliche Frage hilfreich.

Noah Schweber · Answer 1

Noah Schweber

Grundsätzlich gibt es einen Typfehler: " $\int f(x)\,dx$ " ist eine vollkommen bedeutungsvolle Sache, aber diese Sache ist keine einzelne Funktion, sondern eine Reihe von Funktionen.

Der Punkt ist, dass eine Funktion keine eindeutige Stammfunktion hat. Zum Beispiel, ${x^2\over 2}$ ist eine Stammfunktion von $x$ (gegenüber $x$ natürlich), aber so ist es ${x^2\over 2}-4217$ . Es ist nicht das unbestimmte Integral, das verdächtig ist, sondern die Notation, die wir um es herum verwenden - insbesondere die Art und Weise, wie wir " $=$ ." Genau genommen $\int f(x)dx$ bezieht sich auf eine Reihe von Funktionen.

Dies wird im Allgemeinen durch die Einbeziehung einer Integrationskonstante adressiert , so dass wir schreiben

\int X D X = \frac{X^{2}}{2} + C

$\int x\,dx={x^2\over 2}+C$ bedeutet „Die Menge der Stammfunktionen von

x

$x$ ist die Menge der Funktionen des Formulars

\frac{x^{2}}{2} + C

${x^2\over 2} + C$ für

C \in R

$C\in\mathbb{R}$ ."

Das blinde Hinzufügen einer Integrationskonstante behebt das Problem jedoch nicht immer: let $f(x)=-{1\over x^2}+1$ Wenn $x>0$ Und $-{1\over x^2}-1$ Wenn $x<0$ ; was ist die Ableitung von $f$ , und tut $f$ das Formular haben $-{1\over x^2}+C$ für eine feste reelle Zahl $C$ ?

Jo

Hallo Noah. Vielen Dank für das Posten dieser Antwort. Könnten Sie bitte klarstellen, ob ich es richtig verstehe? Ich werde mein Bestes tun, um Ihre Punkte zusammenzufassen. Wenn wir die Aussage interpretieren

\int F (X) D X = F (X)

$\int f(x) \, dx = F(x)$ buchstäblich, dann ist es falsch: Die LHS repräsentiert eine Reihe von Funktionen, während sich die RHS auf eine bestimmte Funktion bezieht. Auch wenn wir schreiben

\int F (X) D X = F (X) + C

$\int f(x) \, dx = F(x)+C$ wir müssen die RHS immer noch so interpretieren, dass sie sich auf alle möglichen Werte von bezieht

C

$C$ , anstatt nur einen Wert.

Noah Schweber

@ Joe Ja. Und selbst dann reicht eine einzige Integrationskonstante möglicherweise nicht aus; siehe das Ende meiner Antwort oder siehe Randalls Antwort.

Jo

Oh ja. Ich habe das vergessen. Außerdem kam mir der Gedanke, dass ich die Notation auf andere Weise missbrauchen könnte. Technisch,

f

$f$ ist die Funktion, während

f (x)

$f(x)$ bezieht sich auf

f

$f$ an einem bestimmten Punkt ausgewertet

x

$x$ . Also, wenn wir wirklich pedantisch wären ,

\int X^{2} D X = \frac{X^{3}}{3} + C

$\int x^2 dx = \frac{x^3}{3}+C$ bedeutet, dass die Menge von Funktionen, wobei jede Funktion auf zusammenhängende(n) Intervall(en) definiert ist durch

\frac{x^{3}}{3}

$\frac{x^3}{3}$ plus einige Konstante, haben eine Steigung von

x^{2}

$x^2$ am Punkt

x

$x$ für alle

x

$x$ . Ist das richtig?

Noah Schweber

@Joe Nein - meiner Erfahrung nach, wenn wir schreiben "

\int f

$\int f$ " Ohne weitere Dekoration betrachten wir Stammfunktionen, die auf einem möglichst großen Bereich definiert sind. Die Menge, die Sie beschreiben, ist die Vereinigung der Mengen der Form

\int_{I} f (x) d x

$\int_If(x)dx$ für

I

$I$ ein zusammenhängendes Intervall.

Noah Schweber

So "

\int x^{2} d x = \frac{x^{3}}{3} + C

$\int x^2dx={x^3\over 3}+C$ " bedeutet, dass

(i)

$(i)$ jede Funktion des Formulars

\frac{x^{3}}{3} + C

${x^3\over 3}+C$ für

C \in R

$C\in\mathbb{R}$ ist eine Stammfunktion von

x^{2}

$x^2$ w/r/t

x

$x$ und ist nicht die richtige Einschränkung eines Antiderivativs von

x^{2}

$x^2$ (Das letzte Bit ist hier leer, da jede solche Funktion zufällig auf allen definiert ist

R

$\mathbb{R}$ ), Und

(i i)

$(ii)$ jede solche "maximal definierte Stammfunktion" ist von der Form

\frac{x^{3}}{3} + C

${x^3\over 3}+C$ für einige

C \in R

$C\in\mathbb{R}$ .

Jo

Danke, das klärt meine Verwirrung auf. Die gesuchte Funktion muss also in derselben Domäne definiert sein wie

f

$f$ (oder auf einer größeren Domain). Ist das richtig?

Federico Poloni

Ist das nicht die gleiche Art von "Verdächtiger" wie

\sin (x) = x + O (x^{3})

$\sin(x) = x + O(x^3)$ ?

Noah Schweber

@FedericoPoloni Ja. Ich hasse, hasse, hasse, hasse diese Notation. (Saum)

md2perpe

Ich mag diese Beispielrechnung:

\int \frac{1}{X} D X = \int 1 \cdot \frac{1}{X} D X = X \cdot \frac{1}{X} - \int X \cdot (- \frac{1}{X^{2}}) D X = 1 + \int \frac{1}{X} D X

$\int \frac1x \, dx = \int 1 \cdot \frac1x \, dx = x \cdot \frac1x - \int x \cdot \left( -\frac1{x^2}\right) \, dx = 1 + \int \frac1x \, dx$ Es sieht so aus, als ob dies gibt

0 = 1

$0=1$ nach Abzug von

\int \frac{1}{x} d x,

$\int \frac1x \, dx,$ aber diese Berechnung veranschaulicht eher, dass die Gleichheitszeichen eher Äquivalenzzeichen sein sollten;

u \equiv v

$u \equiv v$ Wenn

u^{'} = v^{'}

$u'=v'$ .

Noah Schweber

Aus Neugier, warum die Ablehnung?

Jo

Mir ist klar, dass dies jetzt ein ziemlich alter Beitrag ist, aber ich bin mir immer noch nicht ganz sicher über den Status der Variablen

x

$x$ im Integral

\int f (x) d x

$\int f(x) \, dx$ . Es tut mir leid, wenn meine Frage keinen Sinn ergibt. Nachdem Qiaochu seine Antwort gepostet hatte, sagte er, dass eines der Hauptprobleme beim Schreiben sei

\int f (x) d x = F (x) + C

$\int f(x) \, dx = F(x) + C$ ist das

x

$x$ wird auf zwei verschiedene Arten verwendet – als Dummy-Variable und als freie Variable, die die Eingabe einer Reihe von Funktionen darstellt. Also schreiben

\int x^{2} d x = \frac{x^{3}}{3} + C

$\int x^2 \, dx = \frac{x^3}{3} + C$ ist irreführend, weil ...

Jo

...Die

x

$x$ auf der linken Seite erfüllt zwei Aufgaben: Es ist eine Dummy-Variable, die uns mitteilt, dass wir versuchen, die Stammfunktionen der Funktion zu finden

f : x \mapsto x^{2}

$f: x \mapsto x^2$ ; aber es ist auch der Punkt, an dem wir die Stammfunktionen auswerten. Daher könnte es logischer sein, etwas wie zu schreiben

(\int t^{2} d t) (x) = \frac{x^{3}}{3}

$\left(\int t^2 \, dt\right)(x)=\frac{x^3}{3}$ , bedeutet, dass

x

$x$ wird nicht auf zwei verschiedene Arten verwendet. Ich habe versucht, Qiaochu danach zu fragen, aber er hat nicht geantwortet. Verstehe ich die Dinge richtig?

Jo

@NoahSchweber: Und wenn wir das unbestimmte Integral formal definieren wollten, könnten wir es als Menge definieren

{F ∣ F^{'} = f}

$\{F\mid F' = f\}$ . Dann kann als Satz gezeigt werden, dass wenn

S

$S$ ist eine Stammfunktion von

f

$f$ , dann jede Stammfunktion von

f

$f$ muss die Form haben

F : x \mapsto S (x) + C

$F:x \mapsto S(x)+C$ , Wo

C

$C$ ist eine Funktion, die über ein zusammenhängendes Intervall konstant ist.

Anixx

"Eine Funktion hat keine eindeutige Stammfunktion." - es tut.

f^{(- 1)} (x) = \frac{1}{2} \int_{R} s g n (x - t) f (t) d t

$f^{(-1)}(x)=\frac{1}{2}\int_{\mathbb{R}}{\rm sgn}(x-t)f(t)dt$ physical.stackexchange.com/q/552317/1186

Qiaochu Yuan · Answer 2

Qiaochu Yuan

Die anderen Antworten haben gute Punkte zu Integrationskonstanten gemacht, aber das habe ich eigentlich nicht gemeint, obwohl es verwandt ist. Was ich meinte, ist, was Lulu in den Kommentaren sagt: Das Schreiben von Stammfunktionen auf diese Weise führt Sie in die Irre über die Beziehung zwischen den $x$ auf der LHS (die eine Dummy-Variable ist) und die $x$ auf der rechten Seite (was nicht der Fall ist). Die reale" $x$ auf der linken Seite ist eine der Integrationsgrenzen, die in der Notation unterdrückt wird.

Der Sinn, in dem dies irreführend ist, wird klarer, wenn Sie anfangen, Doppelintegrale zu betrachten, was der Kontext der Frage ist, auf die Sie verlinken. Wenn es Sinn macht zu schreiben $\int f(x) \, dx = g(x)$ , dann macht es sicher auch Sinn zu schreiben $\int g(x) \, dx = h(x)$ , Rechts? Dann macht es Sinn zu schreiben

\iint F (X) D X D X = H (X)

$\iint f(x) \, dx \, dx = h(x)$

oder nicht? Was denken Sie?

linksherum

Stimmen Sie zu – das Problem mit dem Stammfunktionsbegriff des unbestimmten Integrals wäre nicht so schlimm, wenn es nur für die Integration auf der reellen Linie wäre, aber es lässt sich einfach nicht auf höhere Dimensionen skalieren. In einem fortgeschritteneren Kontext betrachtet man sehr oft etwas von der Form

∫Ωd xF( x ) $\int_\Omega\!\mathrm{d}x\:f(x)$ , Wo

Ω $\Omega$ kann eine Teilmenge von sein

RN $\mathbb{R}^n$ oder irgendeine Mannigfaltigkeit / Lügengruppe oder was auch immer – kein Problem für die Integration, aber Stammfunktionen? Auf keinen Fall.

Carmeister

Eine andere Sichtweise könnte sein: Wenn wir schreiben

F( x ) = g( x ) $f(x)=g(x)$ Es gibt einen impliziten Quantifizierer, dass dies für alle gilt

X $x$ . Also haben wir

F( 1 ) = g( 1 ) $f(1)=g(1)$ ,

F( 7 ) = g( 7 ) $f(7)=g(7)$ ,

F( π) = g( π) $f(\pi)=g(\pi)$ , usw. Aber wenn wir schreiben

∫XDx =X2/ 2+C $\int x\,dx = x^2/2+C$ wir würden das dann nicht schließen

∫3D3 = 9 / 2 + C $\int 3\,d3=9/2+C$ ...

Jo

Hallo Qiaochu. Vielen Dank für die Klarstellung Ihrer Kommentare. Eine Frage habe ich allerdings: Warum ist das

X $x$ In

∫F( x )DX $\int f(x) \, dx$ als Dummy-Variable angesehen? Für mich die Aussage

\int X D x = X 2 2 + C

$\int x \, dx=\frac{x^2}{2}+C$ bedeutet, dass die Funktion

F $f$ definiert von

F( x ) =X22+ C $f(x)=\frac{x^2}{2}+C$ hat eine Steigung von

X $x$ am Punkt

X $x$ (für alle

X $x$ ). Wenn Sie "Dummy-Variable" sagen, meinen Sie damit, dass ich genauso gut die Funktion schreiben könnte

F $f$ definiert von

F( J) =j22+ C $f(y)=\frac{y^2}{2}+C$ hat eine Steigung von

j $y$ am Punkt

j $y$ ?

Qiaochu Yuan

@Joe: die

X $x$ In

∫F( x )DX $\int f(x) \, dx$ ist eine Dummy-Variable, weil sie über integriert wurde; die reale"

X $x$ ist die obere Grenze der Integration, weshalb es genauer ist, dieses Integral als zu schreiben

∫XAF( t )DT $\int_a^x f(t) \, dt$ (Und

T $t$ kann durch jede andere Dummy-Variable ersetzt werden). Diese Frage stellt sich bereits bei der Betrachtung bestimmter und unbestimmter Summen; die Teilsumme

∑Nk = 0F( k ) $\sum_{k=0}^n f(k)$ ist eine Funktion von

N $n$ Weil

N $n$ ist die obere Grenze der Summe, und

k $k$ ist eine Dummy-Variable; nachdem es aufsummiert wurde, erscheint es nicht mehr.

Jo

@QiaochuYuan Ich verstehe, was du im Summationsbeispiel meinst, aber ich bin mir bei Integralen immer noch etwas unsicher. Es tut mir leid, Sie zu stören, aber könnten Sie etwas detaillierter darauf eingehen, wie die

X $x$ In

∫F( x )DX $\int f(x) \, dx$ ist eine Dummy-Variable? Ich verstehe nicht, wie sich das sofort aus der Tatsache ergibt, dass die

X $x$ wird über integriert.

Qiaochu Yuan

@Joe: Es ist genau dasselbe wie im Summationsbeispiel. Vielleicht ist es klarer, wenn wir die "echte" Variable ändern:

∫j0F( x )DX $\int_0^y f(x) \, dx$ ist eine Funktion von

j $y$ , nicht

X $x$ , Weil

j $y$ ist das, was in den Grenzen des Integrals erscheint. Der

X $x$ ist komplett verschwunden. Ja?

Jo

@QiaochuYuan Ja, das macht Sinn. Aber ich verstehe nicht, wie dies die andere Notation ungenau macht.

schreiben , ist dx = \frac{x^2}{2}+C \, \text{,}

$\int x \, dx = \frac{x^2}{2}+C \, \text{,}$ dann scheint die LHS keine Dummy-Variable zu enthalten, und ich verstehe nicht, warum sie eine enthalten sollte . Deutet diese Notation nicht richtig darauf hin, dass die Steigung von

$f$ , definiert durch

$f(x)=\frac{x^2}{2}+C$ hat eine Steigung von

$x$ am Punkt

$x$ ? Hier

$x$ scheint einen echten Punkt auf dem Graphen von

$y=\frac{x^2}{2}+C$ – es ist nur willkürlich, welchen Punkt wir wählen. Und so kommt es mir nicht wie

$x$ ist eine Dummy-Variable.

Qiaochu Yuan

@Joe: Bitte achten Sie auf die Wörter, die ich verwende; Sie haben behauptet, ich hätte gesagt, unbestimmte Integration sei „verdächtig“ oder „ungenau“, und das habe ich nicht gesagt, ich habe „irreführend“ gesagt, und ich meinte „irreführend“. Es ist genau deshalb irreführend, weil die LHS keine Dummy-Variable zu enthalten scheint , tatsächlich aber vorhanden ist. Die LHS ist eine Abkürzung für ein Integral der Form

$\int_a^x t \, dt$ wo

$a$ ist eine Konstante und

$t$ kann durch jede andere Dummy-Variable ersetzt werden. Die Leute verstehen das implizit und es ist meistens in Ordnung für einzelne Integrale, wird aber für doppelte Integrale verwirrend.

Qiaochu Yuan

Und Doppelintegrale waren der Kontext für die Frage, mit der Sie verknüpft sind. Sie haben diesen Teil meiner Antwort überhaupt nicht angesprochen.

Peter LeFanu Lumsdaine

@Joe: Eine hilfreiche Methode, um zu sehen, ob eine Variable ein „Dummy“ ist, besteht darin, zu fragen, ob es sinnvoll wäre, einen Wert dafür einzusetzen. Macht es Sinn zu sagen „nimm

$\int x\,dx$ , dann setze

$x=3$ , um

$\int 3\, d3$ “? NEIN! Wenn Sie an

$\int x\, dx$ als Funktion (oder besser eine Reihe von Funktionen) und Sie wollen sehen, was die Funktion bei 3 macht, setzen Sie 3 nicht für

$x$ , setzen Sie 3 als obere Integrationsgrenze ein. Also

$x$ ist nicht die Variable, die die Eingabe der Funktion darstellt.

Winter

Der letzte Punkt, den Sie in dem Beitrag anführen, ist IMO einer der wichtigsten Einwände gegen diese Notation. Ich sehe ziemlich oft, dass neue Schüler diesen Fehler machen: Sie ersetzen

$f(x) = \int g(x)dx$ in

$\int f(x) dx$ und mit etwas enden, das absolut keinen Sinn ergibt, und nicht sehen, wo etwas schief gelaufen ist. Auch wenn der Ausdruck gut zu verwenden ist, wenn man mit Menschen kommuniziert, die seine Bedeutung wirklich verstehen, ist er eine Fehlerquelle und führt zu Verwirrung bei Menschen, die neu in der Integration sind, so dass „irreführend“ eine sehr angemessene Charakterisierung ist.

Jo

@QiaochuYuan Es tut mir leid, ich wollte nicht falsch darstellen, was du gesagt hast. Der Grund, warum ich Doppelintegrale nicht erwähnt habe, liegt darin, dass ich die Kalküle mit mehreren Variablen überhaupt nicht studiert habe. Sie schlagen also vor, dass wir

$\int f(x) \, dx$ als

$\int_{a}^{x} f(t) \, dt$ ? Wenn ja, was sind die Vorteile davon, und ist es möglich, das unbestimmte Integral stattdessen als eine Menge von Stammfunktionen zu definieren?

Qiaochu Yuan

@Joe: Es ist keine Frage der Definitionen, es ist eine Frage der Notation. Die Vorteile sind wie ich beschrieben habe: die

$x$ an der richtigen Stelle steht und die Dummy-Variable korrekt als Dummy-Variable behandelt wird, was aus verschiedenen Gründen weniger verwirrend ist. Aus demselben Grund schreiben wir

$f(n) = \sum_{k=1}^n g(k)$ und nicht

$f(n) = \sum_{n=1}^n g(n)$ ; hier

$k$ ist die Dummy-Variable.

Jo

@QiaochuYuan OK, ich glaube, ich verstehe jetzt. Wir wollen also

$\int f(x) \, dx$ um eine Funktion darzustellen (genauer gesagt, eine Funktion, die bei

$x$ -Ich finde).

einzusetzen

$x=3$ , zum Beispiel in

$\int f(x) \, dx$ . Im Gegensatz dazu können wir

$\int_{a}^{3} f(t) \, dt$ wenn wir die von Ihnen vorgeschlagene Notation verwenden. Leider sehe ich als jemand, der sich noch nie mit Kalkül mit mehreren Variablen beschäftigt hat, kein großes Problem mit

$\iint f(x) \, dx \, dx = h(x)$ , abgesehen von den Problemen im Einzelintegralfall. Wollen Sie damit sagen, dass die Dinge mit Doppelintegralen viel verwirrender werden?

Jo

@QiaochuYuan Und danke, das hat mir wirklich geholfen, die Notation rund um Integrale besser in den Griff zu bekommen.

Qiaochu Yuan

@Joe: Ja, das ist ein gutes Beispiel, Sie können eine Zahl nicht in eine Dummy-Variable stecken, weil sie bereits "aufgebraucht" ist. Im Fall von Einzelvariablen ist dies kein großes Problem; Wie ich bereits sagte, ging es im ursprünglichen Kontext des Zitats, zu dem Sie diese Frage gestellt haben, um ein Integral mit mehreren Variablen. Wenn das für Sie nicht relevant ist, dann machen Sie sich keine Sorgen.

Jo

@QiaochuYuan: Entschuldigen Sie die erneute Störung, aber sind die folgenden hypothetischen Notationen auch weniger irreführend? Wenn

$f$ eine integrierbare Funktion ist, dann könnten wir ihre Stammfunktionen als

$\left(\int f\right)(x)$ (wobei

$\int f$ ist keine Funktion, sondern eine Multifunktion). Oder vielleicht

$\left(\int f(t) dt \right)(x)$ , wo

$t$ ist eine Dummy-Variable, was bedeutet, dass die Variable

$x$ wird nicht auf zwei verschiedene Arten verwendet. Zum Beispiel könnten wir

$\left(\int t^2 \right)(x) = \frac{x^3}{3}+C$ (wo die

$C$ Notation bezeichnet implizit eine Menge von Stammfunktionen).

Jo

Wenn Sie die Zeit finden, auf meine Frage zu antworten, wäre ich Ihnen sehr dankbar. Aber keine Sorge, wenn nicht.

Randall · Answer 3

Zum Beispiel die bekannte alte "Formel"

\int \frac{1}{X} D X = \ln | X | + C

$\int \frac{1}{x} \ dx = \ln|x| + C$ ist falsch (es sei denn, Sie definieren das unbestimmte Integral SEHR sorgfältig). Dies soll sagen, dass jede Stammfunktion von

f (x) = \frac{1}{x}

$f(x) = \frac{1}{x}$ muss die Form annehmen

F (x) = \ln | x | + C

$F(x) = \ln|x|+C$ für eine feste Konstante

C

$C$ . Dies gilt jedoch nur über ein zusammenhängendes Intervall . Zum Beispiel die Funktion

G (X) = {\begin{cases} \ln | X | + 1, & X < 0 \\ \ln | X | - 1, & X > 0 \end{cases}

$G(x) = \begin{cases} \ln|x| +1, & x < 0\\ \ln|x|-1, & x > 0\end{cases}$ erfüllt

G^{'} = f

$G'=f$ , obwohl es in der Form nicht ausdrückbar ist

\ln | x | + C

$\ln|x|+C$ . Richtig gemacht, sollten wir nur unbestimmte Integrale über Intervalle definieren (das liegt am Mittelwertsatz).

Es kann durch Zulassen repariert werden $C$ eine lokal konstante Funktion und nicht nur eine Konstante sein. Dies ist ein sehr einfacher Fall von de Rham-Kohomologie, in diesem Fall die nullte de Rham-Kohomologie $H^0_{dR}(\mathbb{R} \setminus \{ 0 \}, \mathbb{R}) \cong \mathbb{R}^2$ .
Und natürlich wird es noch schlimmer, wenn man versucht, diese Stammfunktion auf die komplexe Ebene zu erweitern.

Korallenbleiche · Answer 4

Ich denke, eine klare Möglichkeit, dies zu sehen, ist, dass die pedantischste Notation so wäre:

F (X) \in \int F^{'} (X) D X

$f(x) \in \int f'(x)\,dx$

Man muss nur daran denken $f$ als ein Element in einem Vektorraum, z $f \in C^1(a,b)$ , die Menge stetiger Funktionen mit stetiger erster Ableitung. Der Integraloperator ist also eine lineare Transformation, eine solche Abbildung $\int_a^x: C(a, b) \rightarrow C^1(a, b)$ . Dies macht deutlich, dass die Schrift

F (X) = \int F (X) D X,

$F(x) = \int f(x)\,dx,$ Wo

F^{'} (x) = f (x)

$F'(x) = f(x)$ , könnte leicht ein Notationsmissbrauch sein, obwohl dies meistens nicht der Fall ist, wie die anderen betont haben. Der Autor weiß, was er schreibt: Sie nahmen an

F

$F$ als Stellvertreter für eine ganze Reihe von Funktionen, was dem Leser jedoch nicht immer klar ist. Ein weiteres Problem, das dies an die Oberfläche bringt, ist der Integraloperator

\int_{a}^{x}

$\int_a^x$ wie oben geschrieben wurde, ist schlecht definiert, da es auf ein Element zeigen sollte

f \in C (a, b)

$f \in C(a,b)$ zu einem Element

g \in C^{1} (a, b)

$g \in C^1(a,b)$ , nicht zu einem ganzen Satz von ihnen. Wie man diesen Integraloperator vernünftig definiert, ist eine Frage, die über meiner Gehaltsstufe liegt.

Henry Lee · Answer 5

Wenn wir eine Funktion definieren $F(x)$ als Antiderivat der Funktion $f(x)$ dann von FTC sehen wir das:

\int_{A}^{X} F (T) D T = F (X) - F (A) \neq F (X) \forall F (X)

$\int_a^xf(t)\,dt=F(x)-F(a)\neq F(x)\forall f(x)$ Das Problem liegt darin, dass für eine gegebene bekannte Ableitung

F^{'} (x) = f (x)

$F'(x)=f(x)$ , gibt es viele verschiedene Gleichungen, die genügen

F (x)

$F(x)$ die sich durch eine Konstante unterscheiden, oft notiert durch

+ C

${}+C$ . Dies zeigt sich in vielen Fällen, in denen Menschen diese "Konstante der Integration" vernachlässigen:

\int \frac{1}{A X} D X = \frac{1}{A} \int \frac{1}{X} D X = \frac{1}{A} \ln | X | + C_{1}

$\int\frac{1}{ax}\,dx=\frac{1}{a}\int\frac 1x\,dx=\frac1a\ln|x|+C_1$

\int \frac{1}{A X} D X = \frac{1}{A} \ln | A X | + C_{2}

$\int\frac1{ax}\,dx=\frac1a\ln|ax|+C_2$ die scheinen auf den ersten Blick völlig anders, aber wenn die richtigen Werte von

C_{1}, C_{2}

$C_1,C_2$ ausgewählt sind, sind dies die gleichen, sehen Sie?

Ich denke, der Punkt, den der Beitrag zu machen versucht, ist, dass es in vielen Szenarien zwar einfach ist, eine neue Funktion als Stammfunktion einer anderen zu definieren, manche dies jedoch als irreführend empfinden, wenn sie glauben, dass es nur eine Funktion gibt $g(x)$ die diese Bedingungen erfüllt, obwohl es sich in Wirklichkeit um das handelt, was wir eine "Familie" mit ähnlichen Funktionen nennen

Jäger · Answer 6

Abgesehen von der Mathematik gibt es ein echtes pädagogisches/linguistisches Problem.

Neue Studenten (vernünftigerweise) denken, dass das "bestimmte" und das "unbestimmte" Integral zwei Variationen desselben Phänomens sind, während das erstere tatsächlich das Phänomen ist und das letztere eine Notation ist, die das erstere einfacher zu berechnen macht.

Insbesondere der Fundamentalsatz der Analysis sieht tautologisch aus, wenn die Schüler ihn zum ersten Mal sehen, da sie bereits „wissen“, dass Integrale Stammfunktionen sind.

Meinen Sie damit, dass der einzige Grund, warum Stammfunktionen überhaupt nützlich sind, darin besteht, dass sie uns bei der Berechnung von Flächen helfen? Wenn ja, wäre das sinnvoll: Sowohl Ableitungen als auch Integrale sagen uns etwas über Steigungen und Flächen, aber die Stammfunktion an sich scheint nicht sehr nützlich zu sein.

Antonio · Answer 7

Markieren. Grundsätzlich wurden die Informationen dieses Buches in früheren Antworten auf die ursprüngliche Frage dieses Gesprächs zusammengefasst. Wenn Sie Kapitel 5 dieses Buches konsultieren, finden Sie vielleicht die Hauptideen:

Es gibt einen Unterschied zwischen "Stammfunktionen" und "Primitiven": Eine Stammfunktion ist EINE Lösung der Gleichung $\int f(x) dx = g(x)$ wobei g(x) die unbekannte Lösung ist, während das Primitiv die Menge aller Lösungen derselben Gleichung ist. Darüber hinaus ist es bequem, die Gleichung zu betrachten $\int f(x) dx =g(x)$ als Differentialgleichung f(x) = g'(x), die formal nichts mit (definitiver) Integration zu tun hat, obwohl definite Integration ein sehr wichtiges Werkzeug ist, um theoretische Antidifferenzierungsergebnisse (wie die Existenz einer Lösung) zu entwickeln zu f(x) = g'(x), wenn f(x) stetig auf einem Intervall ist).
die Menge aller Lösungen für f(x) = g'(x) ist mit der Integrationskonstante verbunden, und die Integrationskonstanten sind auf die Form des Definitionsbereichs von f(x) bezogen. Ein grundlegendes Beispiel wurde bereits gegeben: Wenn f(x) = 1/x, dann sind alle Lösungen g(x)= log|x| +C(x), wobei C(x) eine Funktionskonstante auf (-\infty,0) und eine Konstante auf (0,\infty) ist (diese Art von Funktionen wird in diesem Buch lokal konstant genannt); zum Beispiel g(x) = log|x| falls x<0 und g(x) = log|x| - 5 wenn x>0 eine der Lösungen ist.
die Kapitel 9, 10, 11 und 12 befassen sich mit Standardfunktionen (Trigonometrie, binomiale Differentiale usw.) und dort ist der Umgang mit Integrationskonstanten das Hauptthema. Vieles zusammenzufassen ist etwas anderes als eine mechanische Umsetzung von Formeln, wie es die meisten Bücher tun.

Ist eine unbestimmte Integration verdächtig?

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