Wie löse ich das folgende bestimmte Integral durch partielle Integration?

Question

Wie löse ich das folgende bestimmte Integral durch partielle Integration?

williantafsilva

Wie löse ich das folgende Integral ( $C_1$ Und $C_2$ sind Konstanten)?

ICH = \int_{A}^{B} e^{X \cdot (C_{1} - C_{2})} \cdot G (X) D X

$I=\int_a^b e^{x\cdot(C_1-C_2)} \cdot g(x) dx$

Frage 1: Ich habe versucht, es durch partielle Integration mit der Produktregel zu lösen $\left(\int f(x)\cdot g(x) dx=f(x)\cdot \int g(x)dx-\int \frac{d}{dx}f(x)\cdot (\int g(x) dx) dx\right)$ und Null als Ergebnis gefunden, aber das ist falsch, weil beide meiner Funktionen ( $e^{x\cdot(C_1-C_2)}$ Und $g(x)$ ) haben innerhalb des angegebenen Intervalls positive Werte. Was ist die äquivalente Formel für die definitive Integration? Ist die folgende Formel richtig?

\int_{A}^{B} F (X) \cdot G (X) D X = (F (B) - F (A)) \cdot \int_{A}^{B} G (X) D X - \int_{A}^{B} \frac{D}{D X} F (X) \cdot (\int_{A}^{B} G (X) D X) D X

$\int_a^b f(x)\cdot g(x) dx=(f(b)-f(a))\cdot \int_a^b g(x)dx-\int_a^b \frac{d}{dx}f(x)\cdot (\int_a^b g(x) dx) dx$

Frage 2: Kann ich im Fall der bestimmten Integration das innere Integral als Konstante behandeln und es außerhalb des Hauptintegrals bringen? In diesem Fall hätten wir

\int_{A}^{B} \frac{D}{D X} F (X) \cdot (\int_{A}^{B} G (X) D X) D X = (\int_{A}^{B} G (X) D X) \cdot \int_{A}^{B} \frac{D}{D X} F (X) D X

$\int_a^b \frac{d}{dx}f(x)\cdot \left(\int_a^b g(x) dx\right) dx=\left(\int_a^b g(x) dx\right)\cdot\int_a^b \frac{d}{dx}f(x) dx$

Frage 3: Gibt es einen funktionalen Unterschied zwischen diesen beiden Integralen ( $I_A$ Und $I_B$ ) (die Integrationsvariable im inneren Integral wird mit unterschiedlichen Buchstaben bezeichnet)?

{ICH}_{A} = \int_{A}^{B} \frac{D}{D X} F (X) \cdot (\int_{A}^{B} G (X) D X) D X

$I_A=\int_a^b \frac{d}{dx}f(x)\cdot \left(\int_a^b g(x) dx\right) dx$

{ICH}_{B} = \int_{A}^{B} \frac{D}{D X} F (X) \cdot (\int_{A}^{B} G (S) D S) D X

$I_B=\int_a^b \frac{d}{dx}f(x)\cdot \left(\int_a^b g(s) ds\right) dx$

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ultralegend5385 · Answer 1

Die Antwort auf 1 und 2 ist dieselbe: Die von Ihnen verwendete Formel ist falsch. Die richtige Formel ist

\int_{A}^{B} u v D X = {[u \int v D X]}_{A}^{B} - \int_{A}^{B} (u^{'} \cdot \int v D X) D X

$\int_a^b uv\,\textrm{d}x=\left[u\int v\,\textrm dx\right]_a^b - \int_a^b \Big(u'\cdot\int v\,\textrm dx\Big)\,\textrm dx$ (

u

$u$ Und

v

$v$ siehe Funktionen von

x

$x$ )

Tatsächlich ergibt dies Sinn, wenn Sie an den Fundamentalsatz der Analysis denken.

Die Antwort auf 3 ist ja. Da das Integral nur vom Wert der Stammfunktion an den beiden Endpunkten abhängt, spielt der Variablenname keine Rolle. (Sie wird Dummy-Variable genannt.) Wenn Sie also ein Integral sehen, wie Sie es in 2 erwähnt haben (obwohl es hier nicht gültig ist), können Sie es als Konstante behandeln.

Hoffe das hilft. Fragen Sie alles, wenn es nicht klar ist :)

Danke für die Erklärung! Nur um klar zu sein, in Ihrer Erklärung haben Sie ein unbestimmtes Integral in das bestimmte Integral aufgenommen. Ist das richtig oder soll es auch ein bestimmtes Integral sein? Ich frage, weil, wenn es ein bestimmtes Integral in [a, b] sein soll, dann die Regel, die ich in Frage 2 geschrieben habe, verwendet werden kann, oder? Eine zweite Frage: Können Sie mir zeigen, warum ${[u \int v D X]}_{A}^{B} \neq u |_{A}^{B} \int_{A}^{B} v D X$ $\left[u\int v dx\right]_a^b \ne u|_a^b \int_a^b v dx$ ?
Nehmen Sie nur ein einfaches Beispiel $u=x, v=1$ das wirst du finden ${[u \int v D X]}_{A}^{B} = B^{2} - A^{2}$ $\left[u\int vdx\right]_a^b = b^2 - a^2$ Und $u |_{A}^{B} \int_{A}^{B} v D X = (B - A)^{2}$ $u|_a^b\int_a^b vdx = (b-a)^2$
@williantafsilva: Nein, es ist ein unbestimmtes Integral im Inneren. Warum das von Ihnen angegebene Ergebnis nicht wahr ist, können Sie sich anhand des Fundamentalsatzes der Analysis vorstellen. $\int_{A}^{B} F (X) D X = F (B) - F (A)$ $\int_a^bf(x)\,\textrm dx=F(b)-F(a)$ ( $F$ ist Stammfunktion von $f$ ). Wenn du es zulässt $f(x)=uv$ und setze die Stammfunktion ein $F$ (durch regelmäßige Teile) dann werden Sie feststellen, dass die Grenzen nur außerhalb der beiden Teile in der Formel gesetzt werden.

Abdul Haki · Answer 2

Der Hauptfehler, den Sie hier machen, ist die Tatsache, dass Sie die Funktion nicht integrieren $g()$ bevor Sie es verwenden.

Eigentlich solltest du das haben

\int_{A}^{B} F (X) . G (X) D X = {[F (X) . G (X)]}_{A}^{B} - \int_{A}^{B} F^{'} (X) . G (X) D X,

$\int_{a}^b f(x).g(x)dx = \left[f(x).G(x)\right]_{a}^b - \int_{a}^b f'(x).G(x)dx\,,$ wo wir vermuten

G (x) = \int_{c}^{x} g (s) d s

$G(x)=\int_{c}^x g(s)ds$ Und

G (c) = 0

$G(c)=0$ .

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