Integral von Exponential innerhalb einer Region

Question

Integral von Exponential innerhalb einer Region

Infinitesimalrechnung
Integration
Mathematik
Realanalyse
bestimmte Integrale
uneigentliche Integrale

Euler_Salter

Gibt es Methoden, um das folgende Integral zu berechnen? $a \leq b$ ? Hier $x\in\mathbb{R}$

\int_{A \leq - \frac{X^{2}}{2} \leq B} \frac{1}{\sqrt{2 π}} e^{- \frac{X^{2}}{2}} D X

$\int\limits_{a \leq -\frac{x^2}{2} \leq b} \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{x^2}{2}}\,dx$

Auswechslung

Die Fehlerfunktion ist

erf (z) = \frac{2}{\sqrt{π}} \int_{0}^{z} e^{- T^{2}} D T

$\text{erf}(z) = \frac{2}{\sqrt{\pi}} \int_0^z e^{-t^2} dt$ Verwendung der Substitution

t^{2} = \frac{x^{2}}{2}

$t^2=\frac{x^2}{2}$ wir haben

2 d t = d x

$2dt = dx$ Und

\sqrt{- b} \leq t \leq \sqrt{- a}

$\sqrt{-b}\leq t \leq \sqrt{-a}$

\frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{2}{\sqrt{π}} \int_{\sqrt{- B}}^{\sqrt{- A}} e^{- T^{2}} D T = \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot [\frac{2}{\sqrt{π}} \int_{0}^{\sqrt{- A}} e^{- T^{2}} D T + \frac{2}{\sqrt{π}} \int_{\sqrt{- B}}^{0} e^{- T^{2}} D T]

$\frac{1}{\sqrt{2}}\cdot \frac{2}{\sqrt{\pi}}\int_{\sqrt{-b}}^{\sqrt{-a}} e^{-t^2}dt = \frac{1}{\sqrt{2}}\cdot \left[\frac{2}{\sqrt{\pi}}\int_{0}^{\sqrt{-a}} e^{-t^2}dt + \frac{2}{\sqrt{\pi}}\int^0_{\sqrt{-b}} e^{-t^2} dt\right]$ Verwenden der Definition der Fehlerfunktion und Ersetzen

t^{'} = - t

$t' = -t$

\frac{1}{\sqrt{2}} [erf (\sqrt{- A}) - \frac{2}{\sqrt{π}} \int_{0}^{- \sqrt{- B}} e^{- T^{2}} D T] = \frac{1}{\sqrt{2}} [erf (\sqrt{- A}) - erf (- \sqrt{- B})]

$\frac{1}{\sqrt{2}}\left[\text{erf}(\sqrt{-a}) - \frac{2}{\sqrt{\pi}}\int_0^{-\sqrt{-b}} e^{-t^2} dt\right] = \frac{1}{\sqrt{2}}\left[\text{erf}(\sqrt{-a}) - \text{erf}(-\sqrt{-b})\right]$

PNDas

Nehmen

x^{2} / 2 = t

$x^2/2=t$ ?

PNDas

Ich sagte das: Nehmen

x^{2} / 2 = t ⟹ x = \sqrt{2 t}

$x^2/2=t\implies x=\sqrt{2t}$ . Also haben wir das ursprüngliche Integral=

\int_{- b}^{- a} \frac{1}{\sqrt{2 π}} \frac{e^{- t}}{\sqrt{2 t}} d t

$\int_{-b}^{-a}\frac1{\sqrt{2\pi}}\frac{e^{-t}}{\sqrt{2t}}dt$ . Aber ich weiß nicht, wohin ich gehen soll. Du kannst es wie Abdoul machen.

PNDas

Unter Bezugnahme auf meinen letzten Kommentar können Sie das Integral als Differenz zweier unvollständiger Gammafunktionen schreiben.

GEdgar

\erf (\sqrt{- a}) - \erf (\sqrt{- b})

$\operatorname{erf}(\sqrt{-a})-\operatorname{erf}(\sqrt{-b})$

Steven Stadnicki

Die Grenzen Ihres Integrals (

- x^{2} / 2

$-x^2/2$ zwischen

a

$a$ Und

b

$b$ , statt

x

$x$ ) wirken etwas künstlich; woher kommen sie?

Antworten (3)

Integral von Exponential innerhalb einer Region

Ich sagte das: Nehmen $x^2/2=t\implies x=\sqrt{2t}$ . Also haben wir das ursprüngliche Integral= $\int_{-b}^{-a}\frac1{\sqrt{2\pi}}\frac{e^{-t}}{\sqrt{2t}}dt$ . Aber ich weiß nicht, wohin ich gehen soll. Du kannst es wie Abdoul machen.
Unter Bezugnahme auf meinen letzten Kommentar können Sie das Integral als Differenz zweier unvollständiger Gammafunktionen schreiben.
$\operatorname{erf}(\sqrt{-a})-\operatorname{erf}(\sqrt{-b})$
Die Grenzen Ihres Integrals ( $-x^2/2$ zwischen $a$ Und $b$ , statt $x$ ) wirken etwas künstlich; woher kommen sie?

Abdul Haki · Answer 1

Sie können es nicht direkt berechnen. Aber Sie können die Normalverteilung in anderen Fällen verwenden, um eine sehr genaue Schätzung zu erhalten. In der Tat, indem man das annimmt $b\leq0$ , die Region $a\leq -\frac{x^2}{2}\leq b$ ist das gleiche wie $\{\sqrt{-2b}\leq x\leq \sqrt{-2a}\}\cup\{-\sqrt{-2a}\leq x\leq -\sqrt{-2b}\}$ .

So, $\begin{align*} \int_{a\leq -\frac{x^2}{2}\leq b} \frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{x^2}{2}}dx &= \int_{\sqrt{-2b}}^{\sqrt{-2a}} \frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{x^2}{2}}dx + \int_{-\sqrt{-2a}}^{-\sqrt{-2b}} \frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{x^2}{2}}dx\\ &= \left[\Phi(\sqrt{-2a}) - \Phi(\sqrt{-2b})\right] + \left[\Phi(-\sqrt{-2b}) - \Phi(-\sqrt{-2a})\right]\\ &= 2\left[1+\Phi(\sqrt{-2a}) - \Phi(\sqrt{-2b})\right] \end{align*}$

Wo $\Phi(.)$ ist die normale kumulierende Verteilungsfunktion.

Sollte es nicht sein $-1$ mal den Ausdruck, den Sie dort setzen
In der zweiten Gleichheit wenn ich einsetze $x’=-x$ bekommen wir nicht $0$ wie sich die Integrale aufheben?
$\Phi(-x) = 1-\Phi(x)$ nicht $\Phi(-x) = \Phi(x)$ . Wir können also nicht einfach x durch -x ersetzen. Aber wenn Sie über die erste Gleichheit sprechen, nein, Sie werden es mögen $2$ mal was.

GEdgar · Answer 2

Wir können benutzen $\operatorname{erf}$ anstelle von $\Phi$ . Per Definition,

\begin{matrix} (1) & \frac{D}{D X} \erf (X) = \frac{2}{\sqrt{π}} e^{- X^{2}} \end{matrix}

$\frac{d}{dx}\operatorname{erf}(x) = \frac{2}{\sqrt{\pi}}e^{-x^2} \tag1$ Beginnen Sie jetzt mit

v = \int_{A \leq - \frac{X^{2}}{2} \leq B} \frac{1}{\sqrt{2 π}} e^{- \frac{X^{2}}{2}} D X

$V = \int\limits_{a \leq -\frac{x^2}{2} \leq b} \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{x^2}{2}}\,dx$ Wo

a < b \leq 0

$a < b \le 0$ .
In zwei gleiche Teile teilen,

x > 0

$x>0$ Und

x < 0

$x<0$ , zu bekommen

v = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{π}} \int_{\sqrt{- 2 B}}^{\sqrt{- 2 A}} e^{- X^{2} / 2} D X

$V = \frac{\sqrt2}{\sqrt{\pi}}\int_{\sqrt{-2b}}^{\sqrt{-2a}}e^{-x^2/2}dx$ Um zu passen

(1)

$(1)$ Ersatz

x = \sqrt{2} y

$x=\sqrt{2}\,y$ ,

d x = \sqrt{2} d y

$dx = \sqrt{2}\,dy$ zu bekommen

v = \frac{2}{\sqrt{2 π}} \int_{\sqrt{- B}}^{\sqrt{- A}} e^{- j^{2}} D j = \frac{2}{\sqrt{π}} (\frac{\sqrt{π}}{2} \erf (\sqrt{- A}) - \frac{\sqrt{π}}{2} \erf (\sqrt{- B})) = \erf (\sqrt{- A}) - \erf (\sqrt{- B})

$V =\frac{2}{\sqrt{2\pi}}\int_{\sqrt{-b}}^{\sqrt{-a}} e^{-y^2} dy =\frac{2}{\sqrt{\pi}}\left( \frac{\sqrt{\pi}}{2}\operatorname{erf}(\sqrt{-a})- \frac{\sqrt{\pi}}{2}\operatorname{erf}(\sqrt{-b}) \right) =\operatorname{erf}(\sqrt{-a})-\operatorname{erf}(\sqrt{-b})$

Pflanzen · Answer 3

Ich denke, aber ich bin mir nicht sicher, ob es ähnlich wie der Gaußsche Integralbeweis gelöst werden könnte. https://en.wikipedia.org/wiki/Gaussian_integral . Zuerst betrachtet man das Integral zum Quadrat, dann betrachtet man das zweite Integral, das mit einer Variablen multipliziert wird $y$ . Danach machen Sie eine Transformation in Polarkoordinaten und nehmen dann die Ersetzung wie die im Link vor.

Das erinnert mich an das Gaußsche Integral.

Integral von Exponential innerhalb einer Region

Euler_Salter

Auswechslung

PNDas

PNDas

PNDas

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Abdul Haki

Euler_Salter

Abdul Haki

Euler_Salter

Abdul Haki

Euler_Salter

GEdgar

Pflanzen

Wie löse ich das folgende bestimmte Integral durch partielle Integration?

Wie löst man dieses Integral in Teilen?

Ist diese integrale Bewertung legitim?

Berechnen Sie das Integral ∫3π/4π/4x⋅cot(x)⋅csc(x)dx∫π/43π/4x⋅cot⁡(x)⋅csc⁡(x)dx\int_{\pi/4}^{3 \pi/4} x \cdot \cot(x) \cdot \csc(x) \mathop{dx}

Welchen Wert hat das folgende bestimmte Integral?

Auswertung dieses Integrals mit der Gamma-Funktion

Helfen Sie mit, zu verstehen, was uns der fundamentale Satz der Analysis sagt

Berechne∫∞1∫1∞\int_{1}^{\infty} 1−(x−[x])x2−σ1−(x−[x])x2−σ\frac{1-(x-[x ])}{x^{2-\sigma}}dx wobei [x] die größte ganzzahlige Funktion bezeichnet und 0<σ<10<σ<10<\sigma<1

Ableitungseigenschaft der Gamma-Funktion

Geschlossene Form des bestimmten Integrals von 2006 MIT Integration Bee [geschlossen]