Wie löst man dieses Integral in Teilen?

Ein statistischer Ansatz. Sie versuchen zu finden$\mathbb{E}(X^2)$Wo$X$ist eine normale Zufallsvariable mit Mittelwert$\mathbb{E}(X)=\beta$und Varianz$\mathbb{V}(X)={1\over 4\alpha}.$Deshalb

$$\mathbb{E}(X^2)=\mathbb{V}(X)+\mathbb{E}(X)^2={1\over 4\alpha}+\beta^2.$$

Tipp: Erweitern$x^2$entlang der Kräfte von$x-\beta$Erste:

$$x^2=(x-\beta)^2+2\beta(x-\beta)+\beta^2$$ und in drei Integrale zerlegt. Verwenden Sie Integrationsteile für $$\int_{-\infty}^{\infty}(x-\beta)^2 \mathrm e^{-2\alpha(x-\beta)^2}\mathrm d\mkern1mu x.$$

$$\langle x^2\rangle=\int_{-\infty}^{\infty}\left(\frac{2\alpha}{\pi}\right)^{1/2}x^2 e^{-2\alpha(x-\beta)^2} dx$$ $$\langle x^2\rangle=\left(\frac{2\alpha}{\pi}\right)^{1/2}\int_{-\infty}^{\infty}(y+\beta)^2 e^{-2\alpha y^2} dy$$ $$\langle x^2\rangle=2\left(\frac{2\alpha}{\pi}\right)^{1/2}\left(\int_{0}^{\infty}y^2 e^{-2\alpha y^2} dy + \beta^2\int_{0}^{\infty}e^{-2\alpha y^2} dy\right)$$ $$\langle x^2\rangle=2\left(\frac{2\alpha}{\pi}\right)^{1/2}\left(-\dfrac12I'(\alpha) + \beta^2I(\alpha)\right),$$ Wo $$I(\alpha) = \int_{0}^{\infty}e^{-2\alpha y^2} dy.$$ $$I^2(\alpha) = \int_{0}^{\infty}e^{-2\alpha x^2} dx\cdot \int_{0}^{\infty}e^{-2\alpha y^2} dy = \int_{0}^{\infty} \int_{0}^{\infty}e^{-2\alpha (x^2 + y^2)} dxdy$$ Übergang zu Polarkoordinaten: $$I^2(\alpha) = \int_{0}^{\infty} \int_{0}^{2\pi}e^{-2\alpha r^2}r\,d\phi\, dr$$ $$I^2(\alpha) = -\dfrac{2\pi}{4\alpha}e^{-2\alpha r^2}\biggr|_0^{\infty} = \dfrac{\pi}{2\alpha}.$$ $$I(\alpha) = \left(\dfrac{\pi}{2\alpha}\right)^\frac12$$ $$I'(\alpha) = \left(\dfrac{\pi}{2\alpha}\right)^{\frac12}\left(-\dfrac1{2\alpha}\right)$$ $$\langle x^2\rangle = 2\left(-\dfrac1{2\alpha}+\beta^2\right)$$ $$\boxed{\langle x^2\rangle = 2\beta^2-\dfrac1\alpha}$$

Hinweis:

Das Integral

$$\int x^2e^{-2\alpha(x-\beta)^2}dx$$ mit der Substitution $$\sqrt{2\alpha}(x-\beta)=t \quad \Rightarrow \quad dx=\frac{dt}{\sqrt{2\alpha}}$$ $$x^2=\frac{t^2}{2\alpha}+\frac{2\beta t}{\sqrt{2\alpha}}+\beta^2$$ wird: $$\frac{1}{\sqrt{(2\alpha)^3}}\int t^2e^{-t^2}dt+\frac{\beta}{\alpha}\int t e^{-t^2}dt+\frac{\beta^2}{\sqrt{2\alpha}} \int e^{-t^2}dt$$

Das zweite Integral lässt sich leicht durch Substitution lösen:

$$\int t e^{-t^2}dt=-\frac{e^{-t^2}}{2}$$ und daraus durch partielle Integration des ersten Integrals erhalten wir: $$\int t^2e^{-t^2}dt=\int t d\left(-e^{-t^2}\right)=\frac{-te^{-t^2}}{2}+\frac{1}{2} \int e^{-t^2}dt$$

Jetzt müssen wir das Integral finden$\int e^{-t^2}dt$das geht mit elementaren Funktionen nicht. Wir verwenden die Fehlerfunktion , definiert als:

$$\frac{d}{dx} \mbox{erf}(x)=\frac{2}{\sqrt{\pi}}e^{-x^2}$$ So: $$\int e^{-t^2} dt=\frac{\sqrt{\pi}}{2}\mbox{erf}(t)$$ Und $$\int t^2e^{-t^2}dt=\frac{\sqrt{\pi}}{4}\mbox{erf}(t) -\frac{te^{-t^2}}{2}$$ Jetzt können Sie zurücksubstituieren und das Primitiv Ihrer Funktion finden.

Für die Grenzen des gegebenen Integrals können Sie verwenden:

$$\lim_{x\to \infty}\mbox{erf}(x)=1 \qquad \lim_{x\to -\infty}\mbox{erf}(x)=-1$$ das ist eine Folge des Gaußschen Integrals .