Auswertung von ∫π20sinx√sinx√+cosx√dx∫0π2sin⁡xsin⁡x+cos⁡xdx\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{\sqrt{\sin x}}{\ sqrt{\sin x}+\sqrt{\cos x}}\, \mathrm{d}x

Lassen$I$bezeichne das Integral und betrachte die Substitution$u= \frac{\pi }{2} - x.$Dann$I = \displaystyle\int_0^{\frac{\pi }{2}} \frac{\sqrt{\cos u}}{\sqrt{\cos u } + \sqrt{\sin u }} du$Und$2I = \displaystyle\int_0^{\frac{\pi }{2}} \frac{\sqrt{\cos u} + \sqrt{\sin u }}{\sqrt{\cos u } + \sqrt{\sin u }} du = \frac{\pi }{2}.$Somit$I = \frac{\pi }{4}.$

Allgemein,$\displaystyle\int_0^a f(x) dx = \displaystyle\int_0^a f(a-x)$ $dx$wann immer$f$ist integrierbar und$\displaystyle\int_0^{\frac{\pi }{2}} \frac{\cos^a x}{\cos^a x + \sin^a x } dx = \displaystyle\int_0^{\frac{\pi }{2}} \frac{\sin^a x}{\cos^a x + \sin^a x } dx = \frac{\pi }{4}$für$a>0$(gleicher Trick.)

Beachten Sie, dass$\sin(\pi/2-x)=\cos x$Und$\cos(\pi/2-x)=\sin x$. Die Antwort wird die Symmetrie ausnutzen.

Zerlegen Sie das ursprüngliche Integral in zwei Teile, (i) von$0$Zu$\pi/4$und (ii) von$\pi/4$Zu$\pi/2$. Unser erstes Integral ist also

$$\int_{x=0}^{\pi/4} \frac{\sqrt{\sin x}}{\sqrt{\sin x}+\sqrt{\cos x}}\,dx.\tag{$1$}$$

Nehmen Sie für das zweite Integral die Änderung der Variablen vor$u=\pi/2-x$. Mit der Tatsache, dass$\sin x=\sin(\pi/2-u)=\cos u$Und$\cos x=\cos(\pi/2-u)=\sin u$, und die Tatsache, dass$dx=-du$, bekommen wir nach nicht viel Arbeit

$$\int_{u=\pi/4}^{0} -\frac{\sqrt{\cos u}}{\sqrt{\cos u}+\sqrt{\sin u}}\,du$$ Ändern Sie die Dummy-Variable der Integrationsvariablen in den Namen $x$. Führen Sie die Integration auch in der "richtigen" Reihenfolge durch, $0$Zu $\pi/4$. Das ändert das Vorzeichen, also ist unser zweites Integral gleich $$\int_{x=0}^{\pi/4} \frac{\sqrt{\cos x}}{\sqrt{\cos x}+\sqrt{\sin x}}\,dx.\tag{$2$}$$ Unser ursprüngliches Integral ist die Summe der Integrale $(1)$Und $(2)$. Fügen Sie hinzu und beachten Sie die schöne Stornierung $\frac{\sqrt{\sin x}}{\sqrt{\sin x}+\sqrt{\cos x}}+ \frac{\sqrt{\cos x}}{\sqrt{\cos x}+\sqrt{\sin x}}=1$. Somit ist unser ursprüngliches Integral gleich $$\int_0^{\pi/4}1\,dx.$$ Dies ist trivial zu berechnen: Die Antwort ist $\pi/4$.

Bemerkung: Let$f(x)$Und$g(x)$irgendwelche halbwegs netten Funktionen wie das sein$g(x)=f(a-x)$. Das zeigt genau das gleiche Argument

$$\int_0^a\frac{f(x)}{f(x)+g(x)}\,dx=\frac{a}{2}.$$