Wo liege ich falsch? Warum unterscheidet sich meine Antwort vom Buch?

Die Frage ist, zu integrieren

∫ X cos − 1 ⁡ X D X

Antwort in meinem Buch

( 2 X 2 − 1 ) cos − 1 ⁡ X 4 − X 4 1 − X 2 + C

Ich lerne gerade Single-Variable-Kalkül und derzeit über die Integration mit Teil. Ich bin in einem Problem von irgendwann verwirrt. Ich weiß nicht, wo ich falsch liege. Bitte schauen Sie sich die Bilder an.Bild 1Bild 2

Lösung.

cos − 1 ⁡ X ∫ X D X − ∫ [ − 1 1 − X 2 ⋅ X 2 2 ] D X = = cos − 1 ⁡ X ⋅ X 2 2 + ∫ X 2 2 1 − X 2 D X 2 = = X 2 2 ⋅ cos − 1 ⁡ X + 1 2 ∫ X 1 − X 2 D X = | X = Sünde ⁡ T D X = cos ⁡ T D T | = = X 2 cos − 1 ⁡ X 2 + 1 2 ∫ Sünde 2 ⁡ T cos ⁡ T 1 − Sünde 2 ⁡ T D T = = X 2 cos − 1 ⁡ X 2 + 1 2 ∫ Sünde 2 ⁡ T cos ⁡ T cos ⁡ T D T = = X 2 cos − 1 ⁡ X 2 + 1 2 ∫ Sünde 2 ⁡ T D T = = X 2 cos − 1 ⁡ X 2 + 1 2 ∫ 1 − cos ⁡ 2 T 2 D T = = X 2 cos − 1 ⁡ X 2 + 1 2 ∫ 1 2 D T − 1 4 ∫ cos ⁡ 2 T D T = = X 2 cos − 1 ⁡ X 2 + 1 4 T − 1 8 Sünde ⁡ 2 T + C = = X 2 cos − 1 ⁡ X 2 + 1 4 Sünde − 1 ⁡ X − 1 8 Sünde ⁡ 2 Sünde − 1 ⁡ X + C = = X 2 cos − 1 ⁡ X 2 + 1 4 Sünde − 1 ⁡ X − 1 8 Sünde ⁡ ( 2 Sünde − 1 ⁡ X ) + C

Bitte helfen Sie. Vielen Dank im Voraus.

Deine Arbeit habe ich ehrlich gesagt nicht angeschaut. Meine Klasse kommt. Ich gebe Ihnen nur einen Vorschlag. Mach ein U-Sub A R C C Ö S X = T Das Integral wird dann von der Form C Ö S T ∗ S ich N T ∗ T was durch die Doppelwinkelformel zu der Form wird T ∗ S ich N 2 T Die partielle Integration dieses Integrals ist viel einfacher als die Arbeit mit dem Arccos-Zeug ...
Sind Sie sicher, dass sich Ihre Antwort wirklich von der Antwort des Buches unterscheidet? (Versuchen Sie zum Beispiel, den Unterschied mit WolframAlpha darzustellen!)
besser zuerst eine Änderung der Variablen wie θ = C Ö S − 1 X
Ich habe versucht, die Mathematik von Ihrem Bild zu transkribieren. Bitte überprüfen Sie, ob ich nicht versehentlich etwas geändert habe. (An manchen Stellen hatte ich Schwierigkeiten, Ihre Handschrift zu lesen.) Wenn Sie es in Textform und nicht als Bild haben, haben Sie es auch einfacher, wenn Sie etwas bearbeiten müssen. Einige grundlegende Informationen zum Schreiben von Mathematik auf dieser Seite finden Sie zB hier , hier , hier und hier .

Antworten (2)

Ihre Antwort ist nicht falsch, aber Sie haben nicht gründlich vereinfacht.

Deshalb sind beide Antworten gleich:

  1. arcsin ⁡ X + arccos ⁡ X = π 2
  2. Sünde ⁡ ( 2 arcsin ⁡ X ) = 2 Sünde ⁡ ( arcsin ⁡ X ) cos ⁡ ( arcsin ⁡ X ) = 2 X 1 − X 2 .

Mit Hilfe von Bernards Antwort kannst du deinen Begriff weiter transformieren

∫ X cos − 1 ⁡ ( X ) D X = X 2 cos − 1 ⁡ X 2 + 1 4 Sünde − 1 ⁡ X − 1 8 Sünde ⁡ ( 2 Sünde − 1 ⁡ X ) = X 2 cos − 1 ⁡ X 2 + 1 4 Sünde − 1 ⁡ X − 1 4 X 1 − X 2 + C    aber das ist nicht gleich ≠ ( 2 X 2 − 1 ) cos − 1 ⁡ X 4 − X 4 1 − X 2 + C = X 2 cos − 1 ⁡ X 2 − 1 4 cos − 1 ⁡ X − 1 4 X 1 − X 2 + C

Zusätzlich zu der Tatsache, dass Sie Ihre Antwort weiter vereinfachen können , ist die im Buch angegebene Antwort falsch .

Wo liege ich falsch? Warum unterscheidet sich meine Antwort vom Buch?
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