Was habe ich beim Lösen von ∫x2−1√x4dx∫x2−1x4dx\int\frac{\sqrt{x^2-1}}{x^4}dx falsch gemacht?

Ich bin mir nicht sicher, ob dies das Problem ist, aber ich glaube, ich weiß nicht, wie ich das finden soll$\theta$Wert bei der Lösung eines integralen Problems mit trigonometrischer Substitution.

ich habe$\frac{\sin^3(\sec^{-1}(x))}{3}+C$für die Antwort, aber die Antwort sollte sein,$\frac{1}{3}\frac{(x^2-1)^{3/2}}{x^3}+C$

$$\int\frac{\sqrt{x^2-1}}{x^4}dx$$

Lassen$x=\sec\theta$

Dann$dx=\sec\theta\tan\theta d\theta$

$$\int\frac{\sqrt{\sec^2\theta-1}}{\sec^4\theta}\sec\theta\tan\theta d\theta$$

$$=\int\frac{\sec\theta}{\sec^4\theta}\sqrt{\tan^2\theta}\tan\theta d\theta$$

$$=\int\frac{1}{\sec^3\theta} \tan^2\theta d\theta$$

$$=\int\frac{1}{\sec^3\theta}\frac{\sec^2\theta}{\csc^2\theta}d\theta$$

$$=\int\frac{1}{\sec\theta}\frac{1}{\csc^2\theta}d\theta$$

$$=\int \cos\theta\sin^2\theta d \theta$$

Verwenden$u$-Substitution, lassen$u=\sin\theta$

Dann$du=\cos\theta d\theta$Und$dx = \frac{1}{\cos\theta}du$

$$\int\cos\theta u^2 \frac{1}{\cos\theta}du$$

$$=\int u^2 du$$

$$=\frac{u^3}{3}+C$$

$$=\frac{\sin^3\theta}{3}+C$$

Seit$x=\sec\theta$,$\sec^{-1}(x)=\theta$

$$=\frac{\sin^3(\sec^{-1}(x))}{3}+C$$

Was mache ich falsch?