∫sin3(θ/2)cos(θ/2)cos3θ+cos2θ+cosθ√dθ∫sin3⁡(θ/2)cos⁡(θ/2)cos3⁡θ+cos2⁡θ+cos⁡θdθ\int \ frac{\sin ^3(\theta/2)}{\cos(\theta/2)\sqrt{\cos^3\theta+\cos^2\theta+\cos\theta}}d\theta

In einem Integrationsbuch bin ich auf folgendes Übungsproblem gestoßen:

Q . Auswerten

ICH = ∫ Sünde 3 ⁡ ( θ / 2 ) cos ⁡ ( θ / 2 ) cos 3 ⁡ θ + cos 2 ⁡ θ + cos ⁡ θ D θ
Dazu habe ich zuerst ausgewechselt cos ⁡ ( θ / 2 ) = u ⟹ − 1 2 Sünde ⁡ ( θ 2 )   D θ = D u ⟹ Sünde 3 ⁡ ( θ 2 ) D θ = − 2 ( 1 − u 2 )   D u . Das gibt
ICH = ∫ 2 ( u 2 − 1 )   D u u ( 2 u 2 − 1 ) 3 + ( 2 u 2 − 1 ) 2 + ( 2 u 2 − 1 ) = 1 2 ∫ ( u 2 − 1 ) ( 4 u   D u ) u 2 ( 2 u 2 − 1 ) 3 + ( 2 u 2 − 1 ) 2 + ( 2 u 2 − 1 )
Jetzt ersetzen z = 2 u 2 − 1 ⟹ D z = 4 u   D u . Wir haben u 2 = z + 1 2 ⟹ u 2 − 1 = z − 1 2 . Somit
ICH = ∫ z − 1 2   D z ( z + 1 2 ) z 3 + z 2 + z = ∫ ( z − 1 )   D z ( z + 1 ) z 3 + z 2 + z = ∫ [ 1 z 3 + z 2 + z − 2 ( z + 1 ) z 3 + z 2 + z ]   D z
Ich weiß nicht wie ich weiter vorgehen soll. Einige Hinweise wären willkommen. Gibt es einen einfacheren Weg, den gegebenen Ausdruck zu integrieren? Ich habe auch versucht zu ersetzen bräunen ⁡ ( θ / 2 ) = u , aber es wird noch chaotischer als das, was ich hier gezeigt habe.

Nur aus Neugier, wie heißt das Buch?
Ich habe die gleiche Frage: Was ist das Buch, das solch ein Monster beherbergt? Ich bin mir fast sicher, dass elliptische Funktionen in der Lösung enthalten sind.
Es ist kein Standardbuch, das Sie im Handel finden würden, es ist ein Instituts-Praxisbuch.
Mathematica 10.2 gibt eine Antwort in Form eines elliptischen Integrals.

Antworten (1)

Lassen

ICH = ∫ Sünde 3 ⁡ ( θ / 2 ) cos ⁡ ( θ / 2 ) cos 3 ⁡ θ + cos 2 ⁡ θ + cos ⁡ θ D θ = 1 2 ∫ 2 Sünde 2 ⁡ θ 2 ⋅ 2 Sünde ⁡ θ 2 ⋅ cos ⁡ θ 2 2 cos 2 ⁡ θ 2 cos 3 ⁡ θ + cos 2 ⁡ θ + cos ⁡ θ D θ

Also bekommen wir

ICH = 1 2 ∫ ( 1 − cos ⁡ θ ) ⋅ Sünde ⁡ θ ( 1 + cos ⁡ θ ) cos 3 ⁡ θ + cos 2 ⁡ θ + cos ⁡ θ D θ

Jetzt setzen cos ⁡ θ = T , Dann Sünde ⁡ θ D θ = − D T

Also integral

ICH = − 1 2 ∫ ( 1 − T ) ( 1 + T ) T 3 + T 2 + T D T = − 1 2 ∫ ( 1 − T 2 ) ( 1 + T ) 2 T 3 + T 2 + T D T

Also bekommen wir

ICH = 1 2 ∫ ( 1 − 1 T 2 ) ( T + 1 T + 2 ) T + 1 T + 1 D T

Nun lass ( T + 1 T + 1 ) = u 2 , Dann ( 1 − 1 T 2 ) D T = 2 u D u

Also integral

ICH = 1 2 ∫ 2 u u 2 + 1 ⋅ 1 u D u = bräunen − 1 ⁡ ( u ) + C

Also bekommen wir

ICH = bräunen − 1 ⁡ ( T + 1 T + 1 ) + C

Also bekommen wir

ICH = bräunen − 1 ⁡ ( cos ⁡ θ + Sek ⁡ θ + 1 ) + C

Das ist pure Schönheit! Herzlichen Glückwunsch und danke!
Eigentlich habe ich schreiben − ( 1 − T 2 ) = ( T 2 − 1 )
Ich verstehe, Sie haben mein Z-Integral viel schneller gefunden. Sehr schöne Lösung und danke..
Schöne Lösung. BTW @AbhishekBakshi Die meisten solcher Integrale werden gefunden, indem der Differentialkoeffizient im Ausdruck gefunden wird :-), was oben wunderbar gezeigt wird!
verstehe, danke für den Tipp..
∫sin3(θ/2)cos(θ/2)cos3θ+cos2θ+cosθ√dθ∫sin3⁡(θ/2)cos⁡(θ/2)cos3⁡θ+cos2⁡θ+cos⁡θdθ\int \ frac{\sin ^3(\theta/2)}{\cos(\theta/2)\sqrt{\cos^3\theta+\cos^2\theta+\cos\theta}}d\theta
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