Ist diese integrale Bewertung legitim?

Ich möchte folgendes Integral auswerten:

$$\int_{-1}^{1}\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}\cos (2\arccos (x))\cos (3\arccos (x)){\mathrm{d} x}$$ Einige Erfahrungen aus einem Numerical Methods-Kurs lassen mich auf die Idee kommen, dass der Integrand als eine Gewichtsfunktion angesehen werden kann$w(x) = \frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}$multipliziert mit einigen trigonometrischen Termen, die Chebyshev-Polynome der ersten Art zu sein scheinen. Aufgrund der Orthogonalität der Tschebyscheff-Polynome in Bezug auf die Gewichtsfunktion kann ich schlussfolgern, dass das Integral zu ausgewertet wird$0$weil die Tschebyscheff-Polynome unterschiedliche Indizes haben.

Dieses Integral möchte ich aber sicherheitshalber mit elementaren Methoden berechnen.

Mit einigen Manipulationen der trigonometrischen Terme finde ich Folgendes:

$$\cos (2\arccos (x)) = -\cos(2\arcsin(x))$$ $$\cos (3\arccos (x))= -\sin(3\arcsin(x))$$

Ich mache den Ersatz:

$$u = \arcsin(x)$$ $${\mathrm{d} u} = \frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}{\mathrm{d} x}$$

Dann verwandelt sich das ursprüngliche Integral in:

$$\int_{\infty}^{\infty}\cos (2u)\sin (3u){\mathrm{d} u}$$

Daraus schließe ich gleich$0$Weil:

$$\int_{a}^{a}f(x){\mathrm{d} x} = 0$$

Ich habe das Gefühl, etwas Schlechtes getan zu haben, weil Sinus und Cosinus im Unendlichen nicht gegen eine Grenze konvergieren. Das erinnert mich an den Cauchy-Prinzipalwert. Sind meine Manipulationen legitim?