Berechnen Sie das Integral ∫3π/4π/4x⋅cot(x)⋅csc(x)dx∫π/43π/4x⋅cot⁡(x)⋅csc⁡(x)dx\int_{\pi/4}^{3 \pi/4} x \cdot \cot(x) \cdot \csc(x) \mathop{dx}

$$\int_{\pi/4}^{3\pi/4} x \cdot \cot(x) \cdot \csc(x) \mathop{dx}$$

Einige arbeiten

Berechne zuerst das unbestimmte Integral

Lassen$u = \csc(x)$, Dann$\frac{du}{- \csc(x) \cdot \cot(x)} = dx$, Und$\csc^{-1} u = x$

Das gibt

$$\begin{equation*} \begin{aligned} \int x \cdot \frac{\cot(x) \cdot \csc(x) }{\cot(x) \cdot \csc(x)} \cdot (-1) \mathop{du} &= \int \csc^{-1} (u) (-1) \mathop{du} \\ &= - \int \csc^{-1} (u) \mathop{du} \end{aligned} \end{equation*}$$

Dann mit partieller Integration

$$\begin{equation*} \begin{aligned} - \int \csc^{-1} (u) \mathop{du} &= - \left( u \cdot \csc^{-1}(u) - \int u \cdot \frac{1}{u \sqrt{u^2 - 1}} \right) \\ &= - u \cdot \csc^{-1}(u) + \int u \cdot \frac{1}{u \sqrt{u^2 - 1}} \\ &= - u \cdot \csc^{-1}(u) + \int \frac{1}{\sqrt{u^2 - 1}} \end{aligned} \end{equation*}$$

Für das Integral$\int \frac{1}{\sqrt{u^2 - 1}}$lassen$k = u^2$, Dann$\frac{dk}{2u} = du$

$$\begin{equation*} \begin{aligned} \int \frac{1}{\sqrt{ u^2 - 1}} &= \int \frac{1}{\sqrt{k - 1}} \cdot \frac{1}{2 \sqrt{k}} \mathop{dk} \\ &= \frac{1}{2} \int \frac{1}{ \sqrt{ k} \sqrt{k - 1}} \mathop{dk} \\ &= \frac{1}{2} \sec^{-1} \left( \sqrt{ k} \right) \\ &= \frac{1}{2} \sec^{-1} \left( u \right) \end{aligned} \end{equation*}$$

. . .

Ich bin mir nicht sicher, was schief läuft - der Rest der Arbeit ist chaotisch, und ich kann den Fehler anscheinend nicht finden, indem ich CAS überprüfe oder verwende.