Ableitungseigenschaft der Gamma-Funktion

Es ist schon eine Weile her, seit ich viel Kalkül gemacht habe, und ich habe kürzlich nach einer Identität für die Gammafunktion gesucht:

Γ ( S ) N S = ∫ 0 ∞ e − N X X S − 1 D X = 1 N S ∫ 0 ∞ e − X X S − 1 D X

Ich verstehe, wie man von dort aus zurückarbeitet und zeigt, dass sie gleich sind, indem ich die Substitution verwende u = N X , aber ich habe Probleme zu sehen, wie ich dies ableiten soll:

Γ ( S ) N S = 1 N S ∫ 0 ∞ e − X X S − 1 D X

Ich sehe dies ziemlich oft beim Ableiten der Integralform der Zeta-Funktion und frage mich nur, woher es kommt.

Jede Hilfe wäre willkommen

Antworten (2)

Lassen F ( X ) = X S − 1 e − X , F ( j ) = ∫ 0 j F ( X ) D X , G ( j ) = F ( N j ) Dann G ' ( X ) = N F ' ( N X ) = N F ( N X ) daher

∫ 0 j N F ( N X ) D X = G ( j ) − G ( 0 ) = F ( N j ) = ∫ 0 N j F ( X ) D X

Vermietung j → ∞ Sie erhalten die Änderung der Variablenformel

Γ ( S ) = ∫ 0 ∞ F ( X ) D X = N ∫ 0 ∞ F ( N X ) D X = N ∫ 0 ∞ N S − 1 X S − 1 e − N X D X

u = N X , D u = N D X , D u = 1 N D X , X S − 1 = e ( S − 1 ) l N ( X ) = e ( S − 1 ) l N ( u N ) .

∫ 0 ∞ e − N X X S − 1 D X =

1 N ∫ 0 ∞ e − u e l N ( u N ) ( S − 1 ) D u =

1 N ∫ 0 ∞ e − u e ( S − 1 ) l N ( u ) − ( S − 1 ) l N ( N ) D u

1 N ∫ 0 ∞ e − u e ( S − 1 ) l N ( u ) e − ( S − 1 ) l N ( N ) D u

= 1 N ∫ 0 ∞ e − u u S − 1 N 1 − S D u

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