Integral der Sinc-Funktion über ein begrenztes Intervall

Question

Integral der Sinc-Funktion über ein begrenztes Intervall

Infinitesimalrechnung
geschlossene Form
Integration
Mathematik
uneigentliche Integrale

dertouristbr

Ich versuche festzustellen, ob das Integral

\int_{0}^{1} \frac{Sünde X}{X} D X

$\int_0^1 \frac{\sin x}{x} dx$ kann analytisch berechnet werden.

Die Definition der Sinusintegralfunktion ist mir bekannt $\text{Si}(x)$ , aber ich konnte keine Referenz finden, die besagt, ob ein solches Integral berechnet werden kann, ohne auf numerische Methoden zurückzugreifen.

Die üblichen Methoden zur Berechnung des uneigentlichen Integrals über der realen Linie, z. B. durch Konturintegration oder durch Definieren

G (T) = \int_{0}^{1} \frac{Sünde X}{X} e^{- T X} D X

$G(t) = \int_0^1 \frac{\sin x}{x}e^{-tx} dx$ scheinen hier nicht zu funktionieren.

Kann mir hier jemand einen Tipp geben?

K.defaoite

Was ist falsch mit

Si

$\operatorname{Si}$ ? Ja, es muss mit "numerischen Methoden" berechnet werden. Aber alles andere auch.

\sin

$\sin$ wird mit einer Potenzreihe berechnet.

π

$\pi$ wird mit einer unendlichen Reihe berechnet. Ich sehe nicht, wie sie sich von so etwas unterscheiden

Si

$\operatorname{Si}$ .

Antworten (3)

Integral der Sinc-Funktion über ein begrenztes Intervall

Was ist falsch mit $\operatorname{Si}$ ? Ja, es muss mit "numerischen Methoden" berechnet werden. Aber alles andere auch. $\sin$ wird mit einer Potenzreihe berechnet. $\pi$ wird mit einer unendlichen Reihe berechnet. Ich sehe nicht, wie sie sich von so etwas unterscheiden $\operatorname{Si}$ .

Enrico M. · Answer 1

Da beschränkt sich der Integrationsbereich auf $[0, 1]$ Sie können die Taylor-Reihe für die Sinusfunktion verwenden:

Sünde (X) = \sum_{k = 0}^{+ \infty} (- 1)^{k} \frac{X^{2 k + 1}}{(2 k + 1)!}

$\sin(x) = \sum_{k = 0}^{+\infty} (-1)^{k}\frac{x^{2k+1}}{(2k+1)!}$

Somit

\sum_{k = 0}^{+ \infty} \frac{(- 1)^{k}}{(2 k + 1)!} \int_{0}^{1} \frac{X^{2 k + 1}}{X} D X

$\sum_{k = 0}^{+\infty} \dfrac{(-1)^{k}}{(2k+1)!} \int_0^1 \dfrac{x^{2k+1}}{x}\ \text{d}x$

Die Integration ist trivial und gibt Ihnen

\sum_{k = 0}^{+ \infty} \frac{(- 1)^{k}}{(2 k + 1)!} \frac{1}{2 k + 1}

$\sum_{k = 0}^{+\infty} \dfrac{(-1)^{k}}{(2k+1)!} \frac{1}{2 k+1}$

Dann können Sie mit numerisch nach Belieben gehen.

Beachten Sie, dass diese Reihe nichts anderes ist als der Ausdruck der Reihe von \text{Si}(1) (SineIntegral).

Der Zahlenwert ist der Vollständigkeit halber $0.946083(...)$

Der Wert der Reihe, für einige Werte von $k$ Ist:

k = 2 \to 0,94611

$k = 2 \to 0.94611$

k = 5 \to 0,946083

$k = 5 \to 0.946083$

Es braucht wenige Terme, um eine hohe numerische Genauigkeit zu erhalten.

Michael Rosenberg · Answer 2

\int_{0}^{1} \frac{Sünde X}{X} D X = \int_{0}^{1} (1 - \frac{X^{2}}{3!} + \frac{X^{4}}{5!} - . . .) D X = 1 - \frac{1}{3 \cdot 3!} + \frac{1}{5 \cdot 5!} - . . .

$\int\limits_0^1 \frac{\sin x}{x} dx=\int\limits_0^1\left(1-\frac{x^2}{3!}+\frac{x^4}{5!}-...\right)dx=1-\frac{1}{3\cdot3!}+\frac{1}{5\cdot5!}-...$

Claude Leibovici · Answer 3

Mit der Antwort von @Turing könnte es interessant sein, die Anzahl der Begriffe zu kennen, die für eine bestimmte Genauigkeit hinzugefügt werden müssen.

Schreiben

\sum_{k = 0}^{+ \infty} \frac{(- 1)^{k}}{(2 k + 1) (2 k + 1)!} = \sum_{k = 0}^{P} \frac{(- 1)^{k}}{(2 k + 1) (2 k + 1)!} + \sum_{k = P + 1}^{+ \infty} \frac{(- 1)^{k}}{(2 k + 1) (2 k + 1)!}

$\sum_{k = 0}^{+\infty} \dfrac{(-1)^{k}}{(2k+1)(2k+1)!}= \sum_{k = 0}^{p} \dfrac{(-1)^{k}}{(2k+1)(2k+1)!}+\sum_{k = p+1}^{+\infty} \dfrac{(-1)^{k}}{(2k+1)(2k+1)!}$ Da es sich um alle alternierenden Reihen handelt, suchen wir nach

p

$p$ so dass

\frac{1}{(2 P + 3) (2 P + 3)!} \leq ϵ ⟹ (2 P + 3) (2 P + 3)! \geq \frac{1}{ϵ}

$\dfrac{1}{(2p+3)(2p+3)!}\leq \epsilon \implies (2p+3)(2p+3)!\geq \frac 1\epsilon$ Wir gehen einfach dem Problem (da wir nach einer Annäherung suchen) zu

(2 P + 4)! \geq \frac{1}{ϵ}

$(2p+4)!\geq \frac 1\epsilon$

Wenn Sie hier nachsehen , finden Sie eine hervorragende Annäherung an die inverse Fakultät. Übertragen auf den vorliegenden Fall ergäbe sich dies

P ≃ - \frac{Protokoll (\sqrt{2 π} ϵ)}{2 W (- \frac{Protokoll (\sqrt{2 π} ϵ)}{e})} - \frac{9}{4}

$p \simeq -\frac{\log \left(\sqrt{2 \pi } \epsilon \right)}{2 W\left(-\frac{\log \left(\sqrt{2 \pi } \epsilon \right)}{e}\right)}-\frac{9}{4}$ Wo

W (.)

$W(.)$ ist die Lambert-Funktion.

Da das Argument ziemlich groß ist, können Sie die Näherung verwenden

W (T) = L_{1} - L_{2} + \frac{L_{2}}{L_{1}} + \frac{(L_{2} - 2) L_{2}}{2 L_{1}^{2}} + \frac{(2 L_{2}^{2} - 9 L_{2} + 6) L_{2}}{6 L_{1}^{3}} + . . .

$W(t)=L_1-L_2+\frac{L_2}{L_1}+\frac{(L_2-2) L_2}{2 L_1^2}+\frac{(2 L_2^2-9L_2+6) L_2}{6 L_1^3}+ ...$ Wo

L_{1} = \log (t)

$L_1=\log(t)$ Und

L_{2} = \log (L_{1})

$L_2=\log(L_1)$ und sicher werden Sie verwenden

⌈ p ⌉

$\lceil p\rceil$ .

Für $\epsilon=10^{-10}$ , würde dies geben $p=4.59018$ das heißt $6$ . Rechnen würde das geben

\frac{1}{13 13!} = 1.235 \times 10^{- 11}

$\dfrac{1}{13 \ 13!}=1.235\times 10^{-11}$

Integral der Sinc-Funktion über ein begrenztes Intervall

dertouristbr

K.defaoite

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Enrico M.

Michael Rosenberg

Claude Leibovici

Ableitungseigenschaft der Gamma-Funktion

Wie löst man dieses Integral in Teilen?

Integral ∫1−11x1+x1−x−−−√ln(2x2+2x+12x2−2x+1)dx∫−111x1+x1−xln⁡(2x2+2x+12x2−2x+1)dx\int_{- 1}^1\frac1x\sqrt{\frac{1+x}{1-x}}\ln\left(\frac{2\,x^2+2\,x+1}{2\,x^ 2-2\,x+1}\right) \mathrm dx

Ist diese integrale Bewertung legitim?

Berechnen Sie das Integral ∫3π/4π/4x⋅cot(x)⋅csc(x)dx∫π/43π/4x⋅cot⁡(x)⋅csc⁡(x)dx\int_{\pi/4}^{3 \pi/4} x \cdot \cot(x) \cdot \csc(x) \mathop{dx}

Integral ∫∞−∞exp(−x2)1+x4dx∫−∞∞exp⁡(−x2)1+x4dx\int_{-\infty}^\infty \frac{\exp{(-x^2)}} {1+x^4}dx

Welchen Wert hat das folgende bestimmte Integral?

Integral von Exponential innerhalb einer Region

Auswertung dieses Integrals mit der Gamma-Funktion

Berechne∫∞1∫1∞\int_{1}^{\infty} 1−(x−[x])x2−σ1−(x−[x])x2−σ\frac{1-(x-[x ])}{x^{2-\sigma}}dx wobei [x] die größte ganzzahlige Funktion bezeichnet und 0<σ<10<σ<10<\sigma<1