Berechne∫∞1∫1∞\int_{1}^{\infty} 1−(x−[x])x2−σ1−(x−[x])x2−σ\frac{1-(x-[x ])}{x^{2-\sigma}}dx wobei [x] die größte ganzzahlige Funktion bezeichnet und 0<σ<10<σ<10<\sigma<1

Question

Berechne∫∞1∫1∞\int_{1}^{\infty} 1−(x−[x])x2−σ1−(x−[x])x2−σ\frac{1-(x-[x ])}{x^{2-\sigma}}dx wobei [x] die größte ganzzahlige Funktion bezeichnet und 0<σ<10<σ<10<\sigma<1

Benutzer798502

Auswerten $\int_{1}^{\infty}$ $\frac{1-(x-[x])}{x^{2-\sigma}}$ dx wobei [x] die größte ganzzahlige Funktion bezeichnet und $0<\sigma<1$ .

Mein Versuch:- 1-(x-[x]) $\leq 1 \Rightarrow$ $\int_{1}^{\infty}$ $\frac{1-(x-[x])}{x^{2-\sigma}}$ dx $\leq$ $\int_{1}^{\infty}$ $\frac {1}{x^{2-\sigma}}$ dx= $\frac{1}{1-\sigma}$

$\int_{1}^{\infty}$ $\frac{1-(x-[x])}{x^{2-\sigma}}$ dx= $\int_{1}^{2}$ $\frac{1-(x-1)}{x^{2-\sigma}}$ dx+ $\int_{2}^{3}$ $\frac{1-(x-2)}{x^{2-\sigma}}$ dx+... Aber bei der Integration erhalte ich keinen endlichen Wert.

Ninad Munshi

Versuchen Sie, es mit Summennotation umzuschreiben, damit Muster leichter zu erkennen sind

Benutzer798502

@Ninad Munshi kannst du es bitte schreiben?

Angina Seng

Wenn Sie MathJax schreiben, sollten Sie die gesamte Formel in Dollar einfügen, nicht nur einzelne Symbole. Das reduziert den Arbeitsaufwand und es wird besser.

Benutzer798502

@Angina Seng Irgendwelche Hinweise für das Problem?

Antworten (2)

Berechne∫∞1∫1∞\int_{1}^{\infty} 1−(x−[x])x2−σ1−(x−[x])x2−σ\frac{1-(x-[x ])}{x^{2-\sigma}}dx wobei [x] die größte ganzzahlige Funktion bezeichnet und 0<σ<10<σ<10<\sigma<1

Versuchen Sie, es mit Summennotation umzuschreiben, damit Muster leichter zu erkennen sind
Wenn Sie MathJax schreiben, sollten Sie die gesamte Formel in Dollar einfügen, nicht nur einzelne Symbole. Das reduziert den Arbeitsaufwand und es wird besser.

Claude Leibovici · Answer 1

Versuche, deinen Weg fortzusetzen.

Sie schrieben

\int_{1}^{\infty} (1 - X + ⌊ X ⌋) X^{σ - 2} D X = \sum_{N = 1}^{\infty} \int_{N}^{N + 1} (N + 1 - X) X^{σ - 2} D X = \sum_{N = 1}^{\infty} {ICH}_{N}

$\int_1^\infty(1-x+\lfloor x\rfloor )\, x^{\sigma -2}\,dx=\sum_{n=1}^\infty \int_n^{n+1}(n+1-x)\,x^{\sigma -2}\,dx=\sum_{n=1}^\infty I_n$

{ICH}_{N} = \int_{N}^{N + 1} (N + 1 - X) X^{σ - 2} D X = \frac{(N + σ) N^{σ} - N (N + 1)^{σ}}{N (1 - σ) σ} = \frac{N^{σ - 1} (N + σ) - (N + 1)^{σ}}{(1 - σ) σ}

$I_n=\int_n^{n+1}(n+1-x)\,x^{\sigma -2}\,dx=\frac{ (n+\sigma )n^{\sigma }-n (n+1)^{\sigma }}{n (1-\sigma) \sigma }=\frac{n^{\sigma -1} (n+\sigma )-(n+1)^{\sigma } } {(1-\sigma)\, \sigma }$ und hier beginnt das Problem schwierig zu werden, wenn Sie mit der Zeta-Funktion nicht vertraut sind.

In der Hoffnung, dass Sie es sind, sollte das Ergebnis sein

\frac{1 + σ ζ (1 - σ)}{(1 - σ) σ}

$\frac{1+\sigma\, \zeta (1-\sigma ) } {(1-\sigma) \,\sigma }$

Vielen Dank für Ihre Antwort. Ich kann nicht verstehen, wie Sie den letzten Schritt gemacht haben. Ich kenne die Riemann-Zeta-Funktion, aber ich kann sie immer noch nicht verstehen. Bitte schreiben Sie einige Schritte, um den Zeta-Teil zu geren
Bitte schreiben Sie die Antwort, um den Zeta-Teil zu erhalten
Die Serie ist teleskopierbar, also bleiben wir beim ersten und letzten Begriff $(n+1)^\sigma$ wird auch dabei sein.

Math1000 · Answer 2

Dies ist keine vollständige Antwort, wird aber hoffentlich einen Einblick geben:

Lassen $f(x) = \frac{1-(x-\lfloor x\rfloor)}{x^{2-\sigma}}$ , Dann als $0\leqslant x-\lfloor x\rfloor<1$ Und $x^{2-\sigma}>0$ , $f$ ist nichtnegativ an $[1,\infty)$ . Daher nach Tonellis Theorem,

\int_{1}^{\infty} F (X) D X = \int_{1}^{\infty} \sum_{N = 1}^{\infty} F_{N} (X) D X = \sum_{N = 1}^{\infty} \int_{N}^{N + 1} F_{N} (X) D X,

$\int_1^\infty f(x)\ \mathsf dx = \int_1^\infty \sum_{n=1}^\infty f_n(x)\ \mathsf dx = \sum_{n=1}^\infty \int_n^{n+1} f_n(x)\ \mathsf dx,$ Wo

f_{n} (x) = f (x) \cdot 1_{[n, n + 1)}

$f_n(x) = f(x)\cdot\mathsf 1_{[n,n+1)}$ . Durch Induktion (der knifflige Teil) können wir das zeigen

\int_{N}^{N + 1} F_{N} (X) D X = \frac{N^{σ - 1} (N + σ) - (N + 1)^{σ}}{σ (1 - σ)} .

$\int_n^{n+1} f_n(x)\ \mathsf dx = \frac{n^{\sigma -1} (n+\sigma )-(n+1)^{\sigma }}{\sigma(1-\sigma)}.$ Somit

\int_{1}^{\infty} F (X) D X = \frac{1 + σ ζ (1 - σ)}{(1 - σ) σ},

$\int_1^\infty f(x)\ \mathsf dx = \frac{1+\sigma\, \zeta (1-\sigma ) } {(1-\sigma) \,\sigma },$ Wo

ζ (S) := \sum_{N = 1}^{\infty} \frac{1}{N^{S}}

$\zeta(s) := \sum_{n=1}^\infty \frac1{n^s}$ ist die Riemann-Zeta-Funktion.

1000 Wie kommt man zur Zetafunktion? Bitte fügen Sie weitere Schritte hinzu
@ShekharSuman Genauer gesagt ist die Zeta-Funktion die analytische Fortsetzung dieser Reihe (die tatsächlich nur für konvergiert $\mathsf{Re}(s)>1$ . Es ist gut definiert auf $\mathbb C\setminus\{1\}$ .
@ShekharSuman Siehe hier: math.stackexchange.com/questions/437883/…
Doch wie kommt man vom vorletzten Schritt zur Zeta-Funktion. Bitte erkläre
Bitte schreiben Sie den letzten Teil, wenn wir die Summierung von I_n nehmen
Die Serie ist teleskopierbar, also bleiben wir beim ersten und letzten Begriff $(n+1)^\sigma$ wird auch dabei sein.

Berechne∫∞1∫1∞\int_{1}^{\infty} 1−(x−[x])x2−σ1−(x−[x])x2−σ\frac{1-(x-[x ])}{x^{2-\sigma}}dx wobei [x] die größte ganzzahlige Funktion bezeichnet und 0<σ<10<σ<10<\sigma<1

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