Berechnen Sie den Maximalwert

Bei der Suche nach einem kritischen Punkt einer multivariaten Funktion muss es so sein, dass die partiellen Ableitungen bezüglich jeder Variablen Null sind. Nach dem Fundamentalsatz der Infinitesimalrechnung:

$$\frac{\partial}{\partial a}\int_a^b(2-x-3x^2)dx=-(2-a-3a^2)$$

$$\frac{\partial}{\partial b}\int_a^b(2-x-3x^2)dx=2-b-3b^2$$

Wie @Robert Z gezeigt hat, sind die Ausdrücke für diese partiellen Ableitungen Null bei$a,b\in\{-1,2/3\}$. Von da an ist es nicht allzu schwer, das zu zeigen$(a,b)=(-1,2/3)$ist maximal.

---

Ich wollte nur einen Nachtrag hinzufügen, der zeigt, wie dieses Problem mit der Standardmethode zur Ermittlung von Extrema an kritischen Punkten gelöst werden kann.

Ich vermute, dass in Ihrer Definition von$f(a,b)$die Grenzen sollten getauscht werden (sonst$f$hat keine Obergrenze).

Beachten Sie, dass

$$f(a,b):=\int_{a}^{b}{(2-x-3x^2)}\,dx =\int_{a}^{b}{(x+1)(2-3x)}\,dx.$$ Daher z$a<b$, um das Integral von zu maximieren$(x+1)(2-3x)$, wählen wir das Intervall aus$(a,b)$wo das quadratische Polynom positiv ist, dh$(-1,2/3)$: $$f(a,b)=f(a,-1)+ f(-1,2/3)+ f(2/3,b)\leq f(-1,2/3)=\frac{125}{54}$$ Weil$f(a,-1)+f(2/3,b)\leq 0$. Die letzte Ungleichung ist trivial für$a\leq -1<2/3\leq b$, können Sie die anderen Fälle problemlos handhaben.

Technisch$f(a,b)$ist eine Funktion von zwei Variablen, kann aber leicht zerlegt werden$\int_a^c-(x+1)(3x-2)dx+\int_c^b-(x+1)(3x-2)dx$für eine Konstante$c$. Damit ein Punkt ein Maximum ist, darf die Ableitung keine Zahl ungleich Null sein. Das heißt, es ist entweder undefiniert oder null. Integration ist das Gegenteil von Differentiation, also die Ableitung von$\int_c^b-(x+1)(3x-2)dx$ist nur$-(x+1)(3x-2)$, und die Ableitung von$\int_a^c-(x+1)(3x-2)dx$Ist$(x+1)(3x-2)$, und beide sind bei Null$x=-1$Und$x=\frac 23$.

Als nächstes können wir zum Test der zweiten Ableitung übergehen. Für$b$, die zweite Ableitung ist$-1-3x$. Einstecken$-1$Und$\frac 23$, wir bekommen$2$Und$-3$, bzw. also$\frac 23$ist der x-Wert des Maximums. Für$a$, wir bekommen die$-2$Und$-3$, geben$-1$als x-Wert. So$(a,b)=(-1,\frac23)$