Intuition für die Lebesgue-Integration

Die Essenz lässt sich in einer zweidimensionalen Umgebung besser verstehen. Das Riemannsche Integral einer Funktion$(x,y)\mapsto f(x,y)$über den Platz$Q:=[-1,1]^2$beinhaltet das Zerschneiden des Quadrats in kleine Rechtecke$Q_{ij}:=[x_{i-1},x_i]\times[y_{j-1},y_j]$und dann über "Riemann-Summen" der Form streiten

$$\sum_{i, j} f(\xi_i,\eta_j)\mu(Q_{ij})\ ,\tag{1}$$ Wo $\mu(Q_{ij})=(x_i-x_{i-1})(y_j-y_{j-1})$ist der elementare euklidische Bereich von $Q_{ij}$. Dies ist einfach und intuitiv, und Sie erhalten die Linearität des Integrals kostenlos. Aber es ist etwas starr.

Im Gegensatz dazu beinhaltet die Lebesgue-Integration das Aufteilen des Quadrats in Teilmengen, die durch die Pegelkurven von definiert sind$f$, so:

Das Integral ist dann der Grenzwert$N\to \infty$von Summen des Formulars

$$\sum_{k=-\infty}^\infty {k\over N}\mu(S_{N,k})\ ,\tag{2}$$ Wo $S_{N,k}$ist die Zone in der Abbildung, wo $${k\over N}\leq f(x,y)<{k+1\over N}\ .$$ Es sollte intuitiv klar sein, dass die Summen $(2)$sind in gleicher Weise eine Annäherung an das Volumen des durch definierten Kuchens $f$über $Q$ebenso die Summen $(1)$. Aber der Ansatz $(2)$ist viel flexibler und ermöglicht leistungsfähigere "Grenzsätze". Andererseits bedürfen nun so "einfache" Dinge wie die Linearität eines Beweises.

Nehme an, dass$f$ist eine positiv beschränkte Funktion, die auf einem Intervall definiert ist$[a,b]$mit$0 < f \le M$.

Wenn Sie die Domäne mit partitionieren$a = t_0 < t_1 < t_2 < \cdots < t_n = b$Sie wählen Punkte aus$x_k \in [t_{k-1},t_k]$und bilden die Riemann-Summe$\displaystyle \sum_{k=1}^n f(x_k) \ell([t_{k-1},t_k])$Wo$\ell$ist die Länge des Intervalls$[t_{k-1},t_k]$.

Wenn Sie stattdessen den Bereich mit partitionieren$0 = M_0 < M_1 < M_2 < \cdots < M_n = M$, können Sie durch Definition eine analoge "Lebesgue-Summe" bilden$E_k = \{x \in [a,b] : M_{k-1} < x \le M_k\}$. Punkte auswählen$x_k \in E_k$und verwende die Summe$\displaystyle \sum_{k=1}^n f(x_k) \ell(E_k)$.

Es gibt zwei Dinge, die ganz anders sind als bei der Riemann-Summe. Zuerst die Sätze$E_k$sind nicht unbedingt Intervalle, also müssen Sie vorsichtig sein, was damit gemeint ist$\ell(E_k)$. Hier ist das Lebesgue-Maß gefragt. Zweitens, auch wenn die$E_k$sind Intervalle, deren Längen nicht unbedingt auf Null schrumpfen wie die Maschen der Partition von$[0,M]$auf null sinkt. Der Prozess der Berücksichtigung von Intervallen mit abnehmender Größe ist also nicht derselbe wie bei der Riemann-Integration.