Was sind Beispiele für den Integrationstrick mit „gleichzeitigen Integralen“, „dualen Integralen“ oder „Paaren von Integralen“?

Die bekannteste ist wohl eine der Methoden zur Berechnung des Gaußschen Integrals:

$$I=\int\limits_{\mathbb R}e^{-x^2}dx=\int\limits_{\mathbb R}e^{-y^2}dy\\ \Rightarrow I^2=\left(\int\limits_{\mathbb R}e^{-x^2}dx\right)\left(\int\limits_{\mathbb R}e^{-y^2}dy\right)=\iint\limits_{\mathbb R^2}e^{-(x^2+y^2)}dx\,dy$$ obwohl sich das ein bisschen nach Betrug anfühlt, da es in Wirklichkeit zweimal dasselbe Integral ist

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Ich denke, ein anderer wäre so etwas:

$$B=\int e^x\sin(x)dx\\A=\int e^x\cos(x)dx\\A+Bj=\int e^{(1+j)x}dx$$ was eine Ecke im Vergleich zur Verwendung der Integration nach Teilen schneidet

Ich glaube nicht wirklich, dass die Methode, an die Sie denken, einen Standardnamen hat, obwohl ich den Ausdruck "ein System von Beziehungen mit Integralen" gesehen habe .

Zwei unbestimmte Beispiele sind:

1. Lassen $$I = \int \frac{\sin^3 x}{\sin^3 x - \cos^3 x} \, dx \quad \text{and} \quad J = \int \frac{\cos^3 x}{\sin^3 x - \cos^3 x} \, dx.$$ Wenn$I - J$Und$I + J$werden zuerst gefunden,$I$Und$J$kann dann gefunden werden.
2. Lassen $$I = \int \frac{1 + x^4}{1 - x^4} \frac{dx}{\sqrt{1 + x^4}} \quad \text{and} \quad J = \int \frac{x^2}{1 - x^4} \frac{dx}{\sqrt{1 + x^4}}.$$ Wenn $$A = \int \frac{1 + x^2}{1 - x^2} \frac{dx}{\sqrt{ 1 + x^4}} \quad \text{and} \quad B = \int \frac{1 - x^2}{1 + x^2} \frac{dx}{\sqrt{1 + x^4}},$$ wir sehen das $$I = \frac{1}{2}(A + B) \quad \text{and} \quad J = \frac{1}{4}(A - B).$$ Die Integrale$A$Und$B$kann beispielsweise durch eine Substitution gefunden werden$u = \sqrt{1 + x^4}/x$, aus denen$I$Und$J$kann dann gefunden werden.

Ein paar konkrete Beispiele, auf einem etwas höheren Schwierigkeitsgrad, sind:

1. Lassen $$I = \int_0^{\frac{\pi}{4}} \log (\sin x) \, dx \quad \text{and} \quad J = \int_0^{\frac{\pi}{4}} \log (\cos x) \, dx.$$ Finden$I - J$Und$I + J$führt zu Werten für$I$Und$J$.
2. Lassen $$I = \int_0^1 \frac{x \log (1 - x)}{1 + x^2} \, dx \quad \text{and} \quad J = \int_0^1 \frac{x \log (1 + x)}{1 + x^2} \, dx.$$ Wiederfinden$I - J$Und$I + J$führt zu Werten für$I$Und$J$.
3. Lassen $$I = \int_0^1 \arctan (x) \log (1 - x) \, dx \quad \text{and} \quad J = \int_0^1 \arctan (x) \log (1 + x) \, dx.$$ Wiederfinden$I - J$Und$I + J$führt zu Werten für$I$Und$J$.

Ein verwandtes Beispiel für dieses Verfahren scheint das folgende zu sein. Lassen$f:[-1,1]\to \mathbb{R}$gleichmäßig und kontinuierlich sein, und lassen$c\in \mathbb{R}$. In Betracht ziehen

$$I:=\int_{-1}^1 \frac{f(x)}{1+\exp(cx)} dx.$$ Die Substitution$y=-x$Erträge $$I=\int_{-1}^1 \frac{f(y)}{1+\exp(-cy)} dy.$$ Daher $$I+I=\int_{-1}^1f(x) \left(\frac{1}{1+\exp(cx)}+\frac{1}{1+\exp(-cx)}\right) dx$$ $$=\int_{-1}^1f(x) dx = 2\int_{0}^1f(x) dx.$$ Also (unabhängig von$c$) $$I=\int_{0}^1f(x) dx.$$ Zum Beispiel $$\int_{-1}^1 \frac{x^4}{1+\exp(x)} dx= \frac{1}{5}.$$ Es ist nicht genau die Methode, da nur die Summe und nicht die Differenz von Integralen verwendet wird, aber es scheint verwandt zu sein.