Das Problem

Es gibt eine Übung im Kurs MIT OCW 18.01SC:

Was ist die durchschnittliche Entfernung von der$x$-Achse eines zufällig ausgewählten Punktes auf der Niere$r = a (1 - \cos (\theta))$, wenn der Punkt gewählt wird b) indem man einen Punkt lässt$P$sich mit gleichmäßiger Geschwindigkeit um die Niere bewegen und zufällig anhalten;

Ich habe es geschafft, die richtige Antwort zu finden, meine Lösung ist lang, aber einfach. Die in den Antworten angegebene Lösung ist viel kürzer, aber ich verstehe sie nicht.

MIT-Lösung

In der vorgeschlagenen Lösung mitteln sie den Ausdruck

$$\frac 1 {8a} \int_{-\pi}^{\pi} {| r \sin \theta | a \sqrt {2 - 2 \cos \theta} d\theta}$$

was eigentlich ist

$$\frac 1 {8a} \int_{-\pi}^{\pi} { d(\theta) \frac {dw} {d\theta} d\theta }$$

wie ich es verstehe, weil es aus der Suche nach dem Bogenlängenelement stammt$dw$als:

$$dw = {\sqrt {\left(\frac{dx}{d\theta}\right)^2 + \left(\frac{dy}{d\theta}\right)^2 } } d\theta \\ = \sqrt { \left(\frac {dr} {d\theta}\right)^2 + r^2 } d\theta \\ = a \sqrt {2 - 2 \cos \theta} d\theta$$

Ich verstehe ihre Idee, den Durchschnitt zu finden, nicht ganz.

Meine Lösung

Ich habe wegen der Symmetrie nur den oberen Teil der Niere betrachtet:$\theta: 0 \dots \pi$.

Ich wollte die Entfernung als Funktion der Bogenlänge finden:$d(w)$und berechnen Sie den Durchschnitt als

$$\frac {\int_{0}^{w(\pi)}{d(w) dw}} {\int_{0}^{w(\pi)}{dw}}$$

Da kenne ich die Entfernung als Funktion$\theta$:$d(\theta) = r(\theta) sin(\theta)$, wollte ich finden$\theta$als Funktion der Bogenlänge:$\theta(w)$.

Ich fand zuerst

$$w(\theta) = \int_0^{\theta} {\sqrt {\left(\frac{dx}{dt}\right)^2 + \left(\frac{dy}{dt}\right)^2 } dt \\ = 4a (1 - \cos \frac \theta 2) }$$

Somit

$$\theta = 2 \cos ^ {-1} (1 - \frac w {4a})$$

Einstecken

$${\int_{0}^{w(\pi)}{d(w) dw}} = \\ {\int_{0}^{w(\pi)}{r(\theta) * \sin(\theta) dw}}$$

Ich habe es mit etwas Trigonometrie in die richtige Antwort integriert$\frac {4a} 5$