Beweis für die Länge ebener Kurven

Question

Beweis für die Länge ebener Kurven

Infinitesimalrechnung
Bogenlänge
Integration
Mathematik
Riemann-Summe
Korrekturschreiben

Jasser

Da die ebene Kurve eine parametrische Kurve mit Gleichungen ist $x=f(t)$ Und $y=g(t)$ und wir finden die Länge der Kurve im Intervall (a,b) und so teilen wir die gegebene ebene Kurve in kleinere Bögen und schreiben die Länge der ebenen Kurve als Näherung dieser Summe

\sum_{k = 1}^{N} \sqrt{Δ X_{k}^{2} + Δ j_{k}^{2}}

$\sum_{k=1}^n \sqrt {\Delta x_k^2 + \Delta y_k^2}$

\sum_{k = 1}^{N} \sqrt{(F (T_{k}) - F (T_{k - 1}))^{2} + (G (T_{k}) - G (T_{k - 1}))^{2}}

$\sum_{k=1}^n \sqrt {(f(t_k)-f(t_{k-1}))^2 + (g(t_k)-g(t_{k-1}))^2}$

Nach dem Mittelwertsatz gibt es solche Zahlen $t_k^*$ Und $t_k^{**} \in [t_{k-1},t_{k}]$

Δ X_{k} = F (T_{k}) - F (T_{k - 1}) = F^{|} (T_{k}^{*}) Δ T_{k}

$\Delta x_k = f(t_k)-f(t_{k-1})=f^|(t_k^*)\Delta t_k$

Δ j_{k} = G (T_{k}) - G (T_{k - 1}) = G^{|} (T_{k}^{* *}) Δ T_{k}

$\Delta y_k = g(t_k)-g(t_{k-1})=g^|(t_k^{**})\Delta t_k$

\sum_{k = 1}^{N} \sqrt{F^{|} (T_{k}^{*})^{2} + G^{|} (T_{k}^{* *})^{2}} Δ T_{k}

$\sum_{k=1}^n \sqrt {f^|(t_k^*)^2 + g^|(t_k^{**})^2}\Delta t_k$

Meine Frage

Die obige Gleichung ist keine Riemann-Summe, aber ein Theorem in der fortgeschrittenen Analysis garantiert ihre Grenze, da die Norm der Partition gegen Null tendiert (das habe ich im Thomas-Kalkül gelesen) und ich möchte den Beweis wissen (Wie funktioniert die obige Summe conerges to below integral) dieses und jedes Buches zu solchen fortgeschrittenen Themen und alle Links zu solchen.

Da die Norm der Partition gegen Null tendiert, konvergiert die Summe zum Integral

\int_{A}^{B} \sqrt{[F^{|} (T)]^{2} + [G^{|} (T)]^{2}} D T

$\int_a^b \sqrt {[f^|(t)]^2+[g^|(t)]^2}dt$

Jede Art von Hilfe ist willkommen

Thomas Andreas

Wenn

f^{'}

$f'$ Und

g^{'}

$g'$ stetig sind, ist es relativ leicht zu sehen - die Differenz zwischen Ihrer Summe und einer Riemann-Summe konvergiert dann gegen Null, wenn die Partitionsnorm gegen Null tendiert.

Jasser

Es wäre Ihnen dankbar, wenn Sie Ihren Standpunkt erläutern würden .... Und auch, wie man die Summe als Riemann-Summe @ThomasAndrews ausdrücken kann

Jasser

Und ja, ich verstehe intuitiv, was dort passiert, da die Norm gegen Null tendiert, aber ich würde gerne wissen, wie dies tatsächlich bewiesen wird. @ThomasAndrews

Anomalie

So etwas ist in der Lebesgue-Einstellung viel einfacher, wo Sie die Summe in Ihrer zweiten Gleichung als Integral über geeignete Stufenfunktionen betrachten und den Satz der dominierten Konvergenz verwenden können. (Tatsächlich gibt es wirklich keinen zwingenden Grund, das Riemann-Integral zuerst zu behandeln, und möglicherweise sogar überhaupt; es opfert Leistung und Klarheit ohne wirklichen Nutzen.)

Jasser

Es wird sehr hilfreich und interessant sein, dies auch im Rahmen von Lebesgue zu beantworten. Ich würde mehr Dinge lernen @anamoly Jede Art von Hilfe ist immer willkommen.

Antworten (1)

Beweis für die Länge ebener Kurven

Wenn $f'$ Und $g'$ stetig sind, ist es relativ leicht zu sehen - die Differenz zwischen Ihrer Summe und einer Riemann-Summe konvergiert dann gegen Null, wenn die Partitionsnorm gegen Null tendiert.
Es wäre Ihnen dankbar, wenn Sie Ihren Standpunkt erläutern würden .... Und auch, wie man die Summe als Riemann-Summe @ThomasAndrews ausdrücken kann
Und ja, ich verstehe intuitiv, was dort passiert, da die Norm gegen Null tendiert, aber ich würde gerne wissen, wie dies tatsächlich bewiesen wird. @ThomasAndrews
So etwas ist in der Lebesgue-Einstellung viel einfacher, wo Sie die Summe in Ihrer zweiten Gleichung als Integral über geeignete Stufenfunktionen betrachten und den Satz der dominierten Konvergenz verwenden können. (Tatsächlich gibt es wirklich keinen zwingenden Grund, das Riemann-Integral zuerst zu behandeln, und möglicherweise sogar überhaupt; es opfert Leistung und Klarheit ohne wirklichen Nutzen.)
Es wird sehr hilfreich und interessant sein, dies auch im Rahmen von Lebesgue zu beantworten. Ich würde mehr Dinge lernen @anamoly Jede Art von Hilfe ist immer willkommen.

Robert Israel · Answer 1

Sie müssen von einem guten Verhalten ausgehen $f'$ Und $g'$ : Sagen wir, das $f'$ Und $g'$ sind durchgehend an $[a,b]$ (und daher nach dem Satz von Heine-Cantor auf diesem Intervall gleichmäßig stetig).

Lassen $\epsilon > 0$ gegeben werden und nehmen $\delta$ so dass für alle $s,t \in [a,b]$ mit $|s - t| < \delta$ , $|f'(s) - f'(t)| < \epsilon$ Und $|g'(s)-g'(t)| < \epsilon$ . Lassen $a = t_0 < t_1 < \ldots < t_n = b$ so dass $t_{j+1} - t_j < \delta$ , und lass $x_j = f(t_j)$ Und $y_j = g(t_j)$ . Wir schreiben $\Delta x_j = x_{j+1} - x_j$ , und ähnlich für $\Delta y_j$ Und $\Delta t_j$ . Nach dem Mittelwertsatz für jeden $j$ wir haben $\Delta x_j = f'(c) \Delta t_j$ mit $c \in [t_j, t_{j+1}]$ . Jetzt $|f'(c) - f'(t_j)| < \epsilon$ So

| Δ X_{J} - F^{'} (T_{J}) Δ T_{J} | < ϵ Δ T_{J}

$|\Delta x_j - f'(t_j)\Delta t_j| < \epsilon \Delta t_j$ und ähnlich

| Δ j_{J} - G^{'} (T_{J}) Δ T_{J} | < ϵ Δ T_{J}

$|\Delta y_j - g'(t_j)\Delta t_j| < \epsilon \Delta t_j$ Durch die Dreiecksungleichung

\begin{aligned} | \sqrt{(Δ X_{J})^{2} + (Δ j_{J})^{2}} - \sqrt{F^{'} (T_{J})^{2} + G^{'} (T_{J})^{2})} Δ T_{J} | & \leq \sqrt{(Δ X_{J} - F^{'} (T_{J}) Δ T_{J})^{2} + (Δ j_{J} - G^{'} (T_{J}) Δ T_{J})^{2}} \\ < \sqrt{2} ϵ Δ T_{J} \end{aligned}

$\eqalign{\left|\sqrt{(\Delta x_j)^2 + (\Delta y_j)^2} - \sqrt{f'(t_j)^2 + g'(t_j)^2)} \Delta t_j \right| &\le \sqrt{(\Delta x_j - f'(t_j)\Delta t_j)^2 + (\Delta y_j - g'(t_j)\Delta t_j)^2}\cr &< \sqrt{2} \epsilon \Delta t_j}$ so dass

| \sum_{J = 0}^{N - 1} \sqrt{(Δ X_{J})^{2} + (Δ j_{J})^{2}} - \sum_{J = 0}^{N - 1} \sqrt{F^{'} (T_{J})^{2} + G^{'} (T_{J})^{2})} Δ T_{J} | < \sqrt{2} ϵ \sum_{J = 0}^{N - 1} Δ T_{J} = \sqrt{2} (B - A) ϵ

$\left|\sum_{j=0}^{n-1} \sqrt{(\Delta x_j)^2 + (\Delta y_j)^2} - \sum_{j=0}^{n-1} \sqrt{f'(t_j)^2 + g'(t_j)^2)} \Delta t_j \right| < \sqrt{2} \epsilon \sum_{j=0}^{n-1} \Delta t_j = \sqrt{2} (b-a) \epsilon$

Als $n \to \infty$ mit der Maschenweite $\to 0$ ,

\sum_{J = 0}^{N - 1} \sqrt{F^{'} (T_{J})^{2} + G^{'} (T_{J})^{2})} Δ T_{J} \to L = \int_{A}^{B} \sqrt{F^{'} (T)^{2} + G^{'} (T)^{2}} D T

$\sum_{j=0}^{n-1} \sqrt{f'(t_j)^2 + g'(t_j)^2)} \Delta t_j \to L = \int_a^b \sqrt{f'(t)^2 + g'(t)^2}\; dt$ dh wenn

n

$n$ ausreichend groß ist und

δ

$\delta$ ausreichend klein ist,

| \sum_{J = 0}^{N - 1} \sqrt{F^{'} (T_{J})^{2} + G^{'} (T_{J})^{2})} Δ T_{J} - L | < ϵ

$\left| \sum_{j=0}^{n-1} \sqrt{f'(t_j)^2 + g'(t_j)^2)} \Delta t_j - L \right| < \epsilon$ so dass

| \sum_{J = 0}^{N - 1} \sqrt{(Δ X_{J})^{2} + (Δ j_{J})^{2}} - L | < (\sqrt{2} (B - A) + 1) ϵ

$\left|\sum_{j=0}^{n-1} \sqrt{(\Delta x_j)^2 + (\Delta y_j)^2} - L \right| < (\sqrt{2} (b-a) + 1) \epsilon$

Erstens freue ich mich, dass ich Hilfe von einer solchen Person bekomme, und zweitens danke, dass Sie so früh geantwortet haben. Sir, ich habe die Antwort bis zum Schritt vor der Zeile "As" verstanden $n→∞$ mit der Maschenweite $→0$ ". Wie würden Sie das zeigen $\sum_{J = 0}^{N - 1} \sqrt{F^{'} (T_{J})^{2} + G^{'} (T_{J})^{2})} Δ T_{J} \to L = \int_{A}^{B} \sqrt{F^{'} (T)^{2} + G^{'} (T)^{2}} D T$ $\sum_{j=0}^{n-1} \sqrt{f'(t_j)^2 + g'(t_j)^2)} \Delta t_j \to L = \int_a^b \sqrt{f'(t)^2 + g'(t)^2}\; dt$ Ich kann das intuitiv sehen, aber wie würde man das beweisen. Wenn ich das verstehen kann, bekomme ich die ganze Antwort....
Die Beschränkungen auf $f$ Und $g$ sind aus meinem Blickwinkel unbedeutend und ich dachte, es wäre viel mehr ... Ich freue mich, das zu sehen.
@Jasser Das ist nur die Konvergenz von Riemann-Summen zum Integral. Beachten Sie, dass $\sqrt{f'(t)^2 + g'(t)^2}$ ist seitdem kontinuierlich $f'$ Und $g'$ sind kontinuierlich.
Wenn wir die obere und untere Summe der Länge des Bogens finden (wie wir sie in angenäherten Bereichen finden) und wenn beide zu einem einzigen Wert L konvergieren, dann sagen wir, dass die Riemann-Summe zu einem einzigen Wert konvergiert $L$ oder alternativ, wie Sie sagten, ist es nur die Konvergenz des Riemann-Integrals ... wir müssen nur ein bestimmtes finden $\delta$ für ein gegebenes $\epsilon$ .... Danke ... verstanden.

Beweis für die Länge ebener Kurven

Jasser

Thomas Andreas

Jasser

Jasser

Anomalie

Jasser

Antworten (1)

Robert Israel

Jasser

Jasser

Robert Israel

Jasser

Durchschnitt in Bezug auf die Bogenlänge finden

Bogenlänge einer Ellipse durch Integration

Was ist der offensichtliche Widerspruch in diesem Integral?

Ableitungseigenschaft der Gamma-Funktion

Ist die Bogenlänge zwischen zwei rationalen Punkten immer irrational?

Eine Grenzwertberechnung unter Verwendung des Riemann-Integrals

Doppelintegral zwischen zwei Kreisen

Bestimmung der Schranken für ein Dreifachintegral?

Wie findet man das Integral von tanx−secxtanxtan⁡x−sec⁡xtan⁡x\tan x - \sec x\tan x?

Berechne ∫sin(x−α)sin(x+α)−−−−−−√dx∫sin⁡(x−α)sin⁡(x+α)dx\int \sqrt{ \frac {\sin(x -\alpha)} {\sin(x+\alpha)} }\,\operatorname d\!x?