Doppelintegral zwischen zwei Kreisen

Das Problem hier ist das$r = 2\cos\theta$ist nicht wirklich die untere Grenze. Stattdessen ist es die obere Grenze, wenn$\theta \in [\pi/3, 2\pi/3]$. Daher sollten wir stattdessen in zwei Fälle aufteilen, wenn sich die Obergrenze ändert:

$$\int_{-\pi/3}^{\pi/3}\int_0^1 r \, \mathrm{d}r \, \mathrm{d}\theta + \int_{\pi/3}^{2\pi/3}\int_0^{2\cos\theta} r \, \mathrm{d}r \, \mathrm{d}\theta$$ Beachten Sie, dass aufgrund der Symmetrie bzgl $x$-Achse können wir alternativ berechnen: $$2\left[\int_{0}^{\pi/3}\int_0^1 r \, \mathrm{d}r \, \mathrm{d}\theta + \int_{\pi/3}^{\pi/2}\int_0^{2\cos\theta} r \, \mathrm{d}r \, \mathrm{d}\theta \right] = \frac{2\pi}{3} - \frac{\sqrt 3}{2}$$

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Beachten Sie, dass ich "die von diesen beiden Kreisen begrenzte Fläche" so interpretiert habe, dass sie "die Fläche der sich überlappenden Region der beiden Kreise" bedeutet. Wenn wir stattdessen "die Fläche im ersten Kreis, aber nicht im zweiten" wollen, dann wäre das gewünschte Integral$\pi$minus den obigen Ausdruck, oder einfach:

$$\int_{-\pi/3}^{\pi/3}\int_1^{2\cos\theta} r \, \mathrm{d}r \, \mathrm{d}\theta = \frac{\pi}{3} + \frac{\sqrt 3}{2}$$