Ich versuche dieses Integral zu lösen
Die ursprüngliche Frage war, das Integral zu berechnen
Wo ist eine Kugel mit Radius und Zentrum am Ursprung, und , aber nachdem ich mich zu sphärischen Koordinaten bewegt und dann einen Variablenwechsel durchgeführt hatte, endete ich mit dem obigen Doppelintegral. Wie würde ich das tun?
Hinweis: Wir können den Satz von Fubini verwenden, um zuerst in Bezug auf zu integrieren aber das fände ich noch schwieriger.
Vermietung bezeichnen den Bereich, der dem Radiusball entspricht am Ursprung zentriert und davon ausgegangen , das Volumenintegral über wird in sphärischen Koordinaten wie folgt berechnet:
Nun, Sie können sphärische Koordinaten betrachten , also bekommst du
Betrachten Sie die Substitution
Dann bekommen wir
So
Also können wir das Integral schreiben als
Mit den Grenzen können wir schreiben
Zuerst integrieren gibt
Als nächstes integrieren gibt
Und zuletzt integrieren gibt
Das ist das Potenzial aufgrund einer gleichmäßig geladenen Kugel an einem Punkt außerhalb davon. Der Punkt liegt in der Ferne vom Kugelmittelpunkt.
Die Gesamtladung der Kugel ist .
So,
Oria Gruber