Wie löst man das Integral ∫B(0,1)xy(x+z)(y+z)dxdydz∫B(0,1)xy(x+z)(y+z)dxdydz\int_{B(0, 1)} xy(x+z)(y+z)dxdydz?

Wie man das Integral löst

∫ B ( 0 , 1 ) X j ( X + z ) ( j + z ) D X D j D z
Wo B ( 0 , 1 ) = { ( X , j , z ) | X 2 + j 2 + z 2 < 1 } ?

Ich habe versucht, sphärische Koordinaten zu verwenden, aber es stellte sich als hässlich heraus. Ich habe dann versucht, ohne Substitution zu lösen, aber es war auch nicht so angenehm.

Ich denke, die Substitution zu verwenden u = X j , v = X + z , w = j + z aber ich kann die Reichweite nicht bestimmen. Ich bin mir auch nicht sicher, ob es sich um einen Diffeomorphismus handelt.

Irgendwelche Vorschläge?

Hilfe wäre willkommen

Antworten (1)

Hinweis. Verwenden Sie Symmetrie! Nachdem Sie das Produkt erweitert haben, werden Sie sehen, dass die meisten zu integrierenden Terme "ungerade" sind und ihr Integral über jeder Kugel, die am Ursprung zentriert ist, Null ist. Es bleibt abzuwägen

∫ B ( 0 , 1 ) X 2 j 2 D X D j D z
Kannst du es von hier nehmen?

Können Sie näher erläutern, wie das Integral der "ungerade" Funktion über dem Ball Null ist? In R es ist klar, aber hier drin R 3 , ich kann es nicht klar erkennen
Wenn F ( X , j , − z ) = F ( X , j , z ) dann lass Z = − z . Dann B ( 0 , R ) ist bezüglich dieser Transformation invarinat und ∫ B ( 0 , R ) F ( X , j , z ) D X D j D z = ∫ B ( 0 , R ) F ( X , j , − Z ) D X D j D Z = − ∫ B ( 0 , R ) F ( X , j , Z ) D X D j D Z $ was impliziert, dass das Integral Null ist.
Okay, jetzt verstehe ich. Ich danke Ihnen für Ihre Hilfe
Wie löst man das Integral ∫B(0,1)xy(x+z)(y+z)dxdydz∫B(0,1)xy(x+z)(y+z)dxdydz\int_{B(0, 1)} xy(x+z)(y+z)dxdydz?
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