Bestimmung der Schranken für ein Dreifachintegral?

Ich brauche Hilfe bei einem Problem mit der dreifachen Integration. Ich brauche keine Hilfe, um dieses Ding tatsächlich zu integrieren, ich brauche nur Hilfe beim Einrichten der eigentlichen Integrale. Insbesondere weiß ich nicht, wie ich die Grenzen bestimmen soll.

Wir haben im Grunde einen 3D-Donut. Das Problem besagt, dass wir den Donut als Torus modellieren können, der am Ursprung (0,0,0) zentriert ist, mit einem Außenradius R=4 und einem Innenradius r=2. Die Punkte (x,y,z) innerhalb des Torus werden durch folgende Bedingung beschrieben:

Gleichung Link

Hier ist c der Radius vom Ursprung bis zur Mitte des Torus-Rohrs (also denke ich, dass es 3 ist), und a ist der Radius des Donut-Rohrs (also denke ich, dass es 1 sein sollte), der Querschnitt des Donut-Rohrs ist ein Kreis.

Ich muss das Volumen des Krapfens nach 2 Schnitten berechnen. Der erste Schnitt erfolgt parallel zur x-Achse bei y = -3 und dann parallel zur y-Achse bei x = 1.

Bisher habe ich das folgende Integral (in Polarkoordinaten) aufgestellt, das meiner Meinung nach das Volumen des gesamten Donuts darstellt:

Integralgleichung

Aber ich weiß nicht, wie ich die Kürzungen subtrahieren soll? Ich gehe davon aus, dass ich zwei weitere Integrale benötige, die vom gesamten Volumen abgezogen werden müssen, aber ich kann es nicht einrichten. Kann jemand helfen? Ist die Lautstärke, die ich bisher habe, korrekt?

Antworten (1)

Sie haben ein Ordnungsproblem: Die Grenzen der z integral abhängen R , und deshalb muss es wo getan werden R ist definiert. Mit anderen Worten, das Integral ist

∫ 0 2 π ∫ 2 4 ∫ − A 2 − ( R − C ) 2 A 2 − ( R − C ) 2 R D z D R D θ

Und da haben Sie recht C = 3 Und A = 1

Aber wie in den Kommentaren angemerkt, funktioniert dieser Ansatz nicht gut mit den Kürzungen. Das Problem ist, dass die Schnitte flach sind, was zu komplizierten Integrationsgrenzen führt R und/oder θ , wodurch die Vorteile der zylindrischen Darstellung zunichte gemacht werden ("Polarkoordinaten befinden sich in der Ebene - die 3D-Analoga sind entweder "zylindrisch", wie Sie hier verwenden, oder "kugelförmig").

Schauen wir uns die Schnitte an. Die erste ist mit dem Flugzeug j = − 3 (die automatisch parallel zur x-Achse und zur z-Achse ist). Diese Ebene tangiert den "Mittelring" des Torus. Das andere Flugzeug ist X = 1 , die durch das Loch geht. Beachten Sie, dass sich diese beiden Ebenen innerhalb des Torus treffen. Das Aufstellen als integraler Bestandteil von X , j , z , müssen Sie dies für gegebene Werte von berücksichtigen X , gibt es im Allgemeinen zwei getrennte Wertebereiche für j die integriert werden müssen und umgekehrt. Der Weg, dies zu handhaben, besteht darin, den Torus in Quadranten aufzuteilen und jeden Quadranten separat zu bearbeiten. Innerhalb jedes Quadranten gibt es nur einen Bereich für X oder j integriert werden. Das können wir auch für z , Beschränkung der Aufmerksamkeit auf z ≤ 0 Und z ≥ 0 separat. Aber in diesem Fall ist die Geometrie symmetrisch, also nehmen wir auf beiden Seiten das gleiche Volumen auf. Damit können wir nur rechnen z ≥ 0 , dann verdoppeln Sie es, um die gesamte Lautstärke zu erhalten.

Die Gleichung der Torusfläche ist

z 2 + ( X 2 + j 2 − 3 ) 2 = 1
Wir können also die Integration über den gesamten ersten Quadranten als einrichten
2 ∫ 0 4 ∫ 0 16 − X 2 ∫ 0 1 − ( X 2 + j 2 − 3 ) 2 D z D j D X

Nach dem Schneiden haben wir für jeden Quadranten:

  • Quadrant 1: 0 ≤ X ≤ 1 , 0 ≤ j

2 ∫ 0 1 ∫ 0 16 − X 2 ∫ 0 1 − ( X 2 + j 2 − 3 ) 2 D z D j D X

  • Quadrant 2: X ≤ 0 , 0 ≤ j

2 ∫ − 4 0 ∫ 0 16 − X 2 ∫ 0 1 − ( X 2 + j 2 − 3 ) 2 D z D j D X

  • Quadrant 3: X ≤ 0 , − 3 ≤ j ≤ 0

2 ∫ − 4 0 ∫ − 3 4 − X 2 ∫ 0 1 − ( X 2 + j 2 − 3 ) 2 D z D j D X

  • Quadrant 4: 0 ≤ X ≤ 1 , − 3 ≤ j ≤ 0

2 ∫ 0 1 ∫ − 3 4 − X 2 ∫ 0 1 − ( X 2 + j 2 − 3 ) 2 D z D j D X

Der z Integration ist einfach, aber für die j Und X Integrationen benötigen Sie einige trigonometrische Substitutionen.

OK. Wenn das Integral, das Sie oben haben, das Volumen des gesamten Donuts beschreibt, muss ich noch berechnen, wie viel vom Donut übrig bleibt, nachdem 2 Teile entfernt wurden. Das erste entfernte Stück ist bei y = -3 parallel zur x-Achse und das zweite bei x = 1 parallel zur y-Achse. Ist das sinnvoll?
Ihre "Schnitte" sind in Bezug auf definiert X Und j , also haben Sie zwei Möglichkeiten: Schreiben Sie Ihr Integral in Bezug auf xyz um oder finden Sie heraus, wie die Schnitte in Bezug auf definiert werden können R Und θ .
@JohnAlberto - Ich habe das spät in der Nacht gepostet, bevor ich ins Bett gegangen bin. Es tut mir leid, dass ich irgendwie übersehen habe, dass du die Kürzungen beschrieben hast. Anscheinend habe ich diesen Absatz direkt übersprungen, ohne es zu bemerken. Ich korrigiere meinen Beitrag später, wenn ich mehr Zeit habe. nukeguy hat Recht - mit diesen Schnitten will man die Integration in Begriffen ausdrücken X , j , z , oder erhalten Sie möglicherweise das volle Volumen aus diesem Integral, und drücken Sie dann die Schnitte in Bezug auf aus X , j , z .
Danke Nukeguy und Paul. Ich verstehe, dass es einfacher sein könnte, dies nur in Bezug auf x und y zu lösen, aber ich konnte es nicht herausfinden. Um die Schnitte in Polarkoordinaten auszudrücken, muss ich die Gleichungen x = pcos (Theta) und y = psin (Theta) verwenden, aber ich konnte diese grafisch nicht verstehen.
@JohnAlberto - Ich habe meine Antwort mit einer Diskussion darüber aktualisiert, wie das Integral für eingerichtet wird X , j , z .
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