Ist dies ein gültiger Beweis für die Fläche eines Kreises?

Mein Lehrer hat meine Klasse herausgefordert, zu beweisen, dass das Gebiet ist

A = π R 2 .

Wir haben kürzlich etwas über Riemann-Summen gelernt, also dachte ich, es wäre möglich, sie darauf anzuwenden, um die Formel für die Fläche des Kreises abzuleiten. Ich weiß, dass es ähnliche Beweise gibt, aber das ist einer, den ich mir wirklich selbst ausgedacht habe, und ich frage mich, ob er gültig ist. Bitte teilen Sie mir mit, ob etwas an diesem Beweis ungültig ist oder wie er verbessert werden kann.

Stellen Sie sich vor, Sie teilen einen Kreis in eine unendliche Anzahl gleichschenkliger Dreiecke, wobei sich zwei Beine von einem Scheitelpunkt in der Mitte des Kreises bis zum Rand des Kreises erstrecken. Der zentrale Winkel, den jedes Dreieck bildet, kann dargestellt werden als 2 π N , Wo N ist die Anzahl der Dreiecke im Kreis.

Die Fläche eines Dreiecks ist A = 1 2 A B Sünde ⁡ C . Da sich die Beine jedes Dreiecks vom Mittelpunkt des Kreises bis zum Rand erstrecken, bedeutet dies, dass A = B = R , der Radius des Kreises. Daher kann die Summierung jedes Dreiecks im Kreis, wenn die Anzahl der Dreiecke gegen unendlich geht, wie folgt dargestellt werden:

lim N → ∞ ∑ ich = 1 N 1 2 R 2 Sünde ⁡ ( 2 π N )

was umgeschrieben werden kann als:

lim N → ∞ 1 2 R 2 N Sünde ⁡ ( 2 π N ) = 2 π ( 1 2 ) R 2 = π R 2

Ich glaube, das ist ähnlich wie bei Archimedes. Es gibt jedoch ein paar technische Probleme mit solchen Proofs. Erstens haben Sie gezeigt, dass Riemann-Summen, die eine bestimmte Art von Partition für den Kreis verwenden, gegen einen bestimmten Wert konvergieren, aber das beweist nicht, dass alle Riemann-Summen, die Partitionen mit maximalem Durchmesser verwenden, zu gehen 0 gegen den gleichen Wert konvergieren (dh dass der Bereich wohldefiniert ist).
Der zweite Punkt ist die Definition von π Und Sünde Sie verwendeten. Dies kann ein Problem sein oder auch nicht, aber Sie sollten unbedingt einen Zirkelschluss vermeiden (Wortspiel beabsichtigt!).
Bogenmaß wird anhand von Querschnittsflächen definiert, sodass dieser Beweis kreisförmig erscheint.
@CyclotomicField Radians werden meiner Erfahrung nach viel häufiger anhand von Schnittbogenlängen definiert. Aber das ist in der Tat etwas, das geklärt werden muss, wie Tob Ernack oben betont.
@Arthur Wenn Sie also zu hyperbolischem Trig abstrahieren, möchten Sie Schnittflächen anstelle der Bogenlänge verwenden. Ich wusste bis jetzt nicht, dass es eine andere Definition gibt.
@CyclotomicField Bedeutet dies, dass die Verwendung des Bogenmaßes immer noch ein Zirkelschluss ist?
@PythonTron Ich glaube nicht, weil sich die Bogenlänge von der Fläche unterscheidet und Sie die Definition von verwenden π direkt so.
Ergänzung zu meinem ersten Kommentar: Bezüglich der Teilung gibt es auch noch das Problem, dass man beim Einschreiben eines Polygons in den Kreis noch einen unbedeckten Bereich an den Rändern des Polygons lässt, und man müsste zeigen, dass dieser Restbereich dazugehört Null, wenn die Anzahl der Seiten des Polygons zunimmt. Das geht mit etwas mehr Arbeit. Ich denke, Archimedes hat den Kreis tatsächlich mit eingeschriebenen und umschriebenen Polygonen begrenzt und "Stauchen" verwendet. Aber letztendlich werden all diese technischen Probleme mit der vollständigen Theorie der Integration (oder Maßnahmen) gelöst.
@TobErnack Ich denke, es war nur Intuition, die es mir ermöglichte zu wissen, dass mit zunehmender Anzahl der Seiten des Polygons der verbleibende Platz abnahm. Ist das nicht gesunder Menschenverstand?
Es ist sicherlich intuitiv offensichtlich, da stimme ich zu. Aber ein vollständiger Beweis müsste dieses Problem ansprechen. Aber sehen Sie meine Kommentare nicht als zu hart an, Ihr Beweis ist immer noch eine sehr schöne Idee, die zeigt, warum die Fläche des Kreises so ist, wie sie ist. Ich weise nur auf diese Dinge hin, denn obwohl "Fläche" ein intuitives Konzept ist, erfordert es eine überraschende Menge an Maschinen, um es streng zu machen.
Was ist mit der Riemann-Umfangssummierung mit dem Radius? R als variabel? Es klappt:
∑ k ≤ N 2 π X k Δ X = ∑ k ≤ N 2 π R k N R N → 2 π ∫ 0 R X D X = π R 2
Einzelheiten finden Sie hier .
Es ist eine sehr schöne Art, die Formel für die Fläche eines Kreises zu entdecken.
@PythonTron Um Ihnen ein Beispiel zu zeigen, wie ein ähnliches Argument scheitern kann, wenn Sie nicht aufpassen: Hier ist ein ziemlich berühmter "Mem" -Beweis dafür π = 4 .
@TobErnack Ich weiß das Feedback sehr zu schätzen. Ich liebe es, über all die feinen Details von Beweisen zu lernen.
@Snoop Das ist wirklich interessant. Ich liebe es zu sehen, wie das gleiche Konzept auf verschiedene Arten angewendet werden kann.
@TobErnack Ich habe mir ein Video zu genau dieser Sache angesehen. Es erklärte, dass die einfache Herangehensweise an etwas nicht unbedingt gleich etwas ist. youtube.com/watch?v=lCOlS_qn8RQ

Antworten (1)

Schöner Beweis! Die einzige Eigenschaft von π und der Kreis, auf den Sie sich zu verlassen scheinen, ist das ein zentraler Winkel von a Radiant entspricht einer Bogenlänge von a 2 π R , das heißt, Sie verlassen sich auf die Formel für den Umfang eines Kreises, aber nicht auf die Formel für seine Fläche, daher sehe ich hier keine Kreisförmigkeit. Beachten Sie jedoch, dass Sie ein Argument angegeben haben, das nicht die mathematische Standarddefinition der Fläche verwendet, die durch bestimmte Integrale gegeben ist, da Sie bestimmte Dreiecke anstelle beliebiger Rechtecke verwendet haben, aber ich würde dies nicht gegen Ihren Beweis anrechnen. Ich mag deinen Trick, da er die Dinge rechnerisch einfach macht.

Sie können auch den Standardansatz über Riemann-Summen verwenden, bei dem wir Rechtecke hineinpassen. Lassen F ( X ) = R 2 − X 2 . Der Graph dieser Funktion ist der obere Teil eines Radiuskreises R am Ursprung zentriert. Wenn wir eine unendliche Anzahl von Rechtecken anpassen, erhalten wir ∫ − R R R 2 − X 2 D X die mit dem Fundamentalsatz der Infinitesimalrechnung und der Substitution berechnet werden kann X = R Sünde ⁡ T :

∫ − R R R 2 − X 2 D X = ∫ − π 2 π 2 R 2 − R 2 Sünde 2 ⁡ T ⋅ R cos ⁡ T D T = R 2 ∫ − π 2 π 2 cos 2 ⁡ T D T = R 2 2 ∫ − π 2 π 2 1 + cos ⁡ ( 2 T ) D T = R 2 2 [ T + Sünde ⁡ ( 2 T ) 2 ] − π 2 π 2 = π R 2 2
so dass die Fläche des ganzen Kreises ist 2 ⋅ π R 2 2 = π R 2 .

Ihre Idee, gleichschenklige Dreiecke anstelle der bei der Integration verwendeten Standardrechtecke zu nehmen, nutzt die Symmetrie des Kreises und erleichtert in diesem Fall definitiv die Berechnungen!

Erwähnenswert ist auch, dass die Integration in Polarkoordinaten durch eine Änderung von Variablen erfolgen kann, was analog zu der Methode mit Dreiecken wird.
@TobErnack Gute Beobachtung!
Gibt es einen bestimmten Grund, warum die Substitution x=rsin(t) verwendet wurde, außer dass einfach festgestellt wurde, dass sie funktioniert? Sind andere trigonometrische Substitutionen möglich? Denken Sie daran, dass ich in AP Calc BC bin und wir die Trig-Substitution nicht mehr lernen, daher fehlt mir das Wissen darüber.
@PythonTron Geometrisch entspricht das, was wir tun, der Parametrisierung des oberen Halbkreises { ( X , j )   |   j = R 2 − X 2 } mit trigonometrischen Funktionen: { ( R cos ⁡ a , R Sünde ⁡ a )   |   a ∈ [ 0 , π ] } . Es gibt andere (weniger offensichtliche) trigonometrische Substitutionen zum Lösen von Integralen wie z ∫ A 2 + X 2 D X und ähnliche, siehe Wiki . Grundsätzlich funktionieren sie wegen der trigonometrischen Identitäten, die die Ausdrücke vereinfachen, aber wahrscheinlich können sie alle auch aus einer geometrischen Perspektive betrachtet werden.
@Snaw Ich habe gerade ein Video über Trig-Substitution gesehen und verstehe es jetzt. Danke schön.
Ich persönlich bin eher ein Fan der Onion-Methode , weil sie weniger Integrationswissen erfordert als das naive „Integrieren“. R 2 − X 2 "-Methode oben, und alles, was Sie verstehen müssen, ist die Potenzregel für die Integration. Außerdem wird es ein bisschen intuitiver, warum der Faktor von 2 verschwindet aus dem Bereich einer Kreisformel.
@Kyky Einverstanden, sowohl die "Zwiebelmethode" als auch die "Dreiecksmethode" von OP sind besser, um eine Intuition zu bekommen π R 2 im Vergleich zu ∫ R 2 − X 2 D X . Sie lassen die Formel viel klarer erscheinen. Speziell ∫ 0 R 2 π T D T = π R 2 ist auf jeden Fall sehr schick. (Es bedarf jedoch etwas mehr Begründung, um den Beweis vollständig streng zu machen: Die Zwiebelmethode benötigt Doppelintegrale, wie im Link erklärt, und die Dreiecksmethode erfordert eine Begründung dafür, warum die Flächen der übrig gebliebenen Teile notwendigerweise gegen Null tendieren, wie erklärt in den Kommentaren oben von Tob).
Ist dies ein gültiger Beweis für die Fläche eines Kreises?
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