Dreiecks- und Kreismaximierungsproblem

Also habe ich in GeoGebra herumgespielt und dieses Ding herausgefunden, ich weiß nicht, ob dieses Problem einen Namen oder so etwas hat.

Das Dreieck ABC ist in einen Kreis eingeschrieben, von Punkt D, der sich innerhalb des Kreises befindet, zeichnen wir 3 senkrechte Linien zu jeder Seite des Dreiecks, was die maximale Fläche des Dreiecks ist, dessen Scheitelpunkte die Schnittpunkte der senkrechten Linien und der Seiten sind des Dreiecks? (maximale Fläche des Dreiecks EFG, das rote Dreieck im Bild)

Mit Geogebra habe ich herausgefunden, dass diese Fläche immer dann maximal ist, wenn Punkt D im Mittelpunkt des Kreises liegt, oder anders gesagt, wenn die Senkrechten die Seiten in 2 gleiche Segmente teilen.

Wenn jemand einen Beweis liefern könnte/erklären könnte, warum, wäre ich dankbar.

Siehe folgendes Diagramm:

Geben Sie hier die Bildbeschreibung ein

Ein synthetischer Beweis hier scheint ein echter Bastard zu sein, muss ich sagen!
Wenn D ist der Umkreis von A B C die Senkrechten sind auch die Winkelhalbierenden der Seiten von A B C Und E F G ist ähnlich wie A B C und es ist genau 1 4 seines Gebietes. Bleibt zu beweisen, dass jede andere Position zu kleineren Dreiecken führt
@Raffaele Ich denke, du hast das harte Stück verlassen!
Das mittlere Dreieck wird nach Ihren Vorgaben durch Verbinden von Mittelpunkten gebildet. Das Zusammentreffen dieser senkrechten Linien muss wichtig sein, da eine frei gewählte Menge von Punkten auf den Seiten eine Fläche haben könnte, die beliebig nahe an der vollen Dreiecksfläche liegt. Ich bin weniger davon überzeugt, dass die Beschränkung auf den Kreis wichtig ist.
Zuerst beschränkte ich den Punkt D auf INNERHALB des Dreiecks, die Antwort war auch der Umkreismittelpunkt, auch bekannt als das mittlere Dreieck, aber dann erinnerte ich mich, dass der Umkreismittelpunkt außerhalb des Dreiecks liegen könnte, also versuchte ich es mit dem Dreieck im Bild und anscheinend Wenn Sie den Punkt D an eine beliebige Stelle in der Ebene verschieben, können Sie Bereiche bis zur Unendlichkeit haben (da die Punkte EGF auf den Verlängerungen der Seiten der Dreiecke ABC liegen). Es muss also eine Einschränkung für die Platzierung des Punktes D geben Ich nahm an, dass es sich um den Umkreis handelt. Wenn es keine Einschränkung gibt, ist der Umkreismittelpunkt ein lokales Maximum
Folgendes habe ich gemeint: Wenn der Punkt D außerhalb des Kreises liegt (irgendwo in der Ebene), können Sie Bereiche bis unendlich erreichen: imgur.com/X55rq7j
UPDATE: es gelang zu beweisen, dass, wenn D auf dem Kreis liegt (weder innen noch außen), die Punkte E, G, F auf einer Linie liegen, mit anderen Worten, wenn D AUF dem Kreis liegt, die Fläche des Dreiecks EGF ist 0 Also im Grunde haben wir, dass der Umkreismittelpunkt ein lokales Maximum ist, die Fläche des roten Dreiecks beginnt sich zu verringern, wenn sich der Punkt D weiter vom Umkreismittelpunkt entfernt, sobald Punkt D auf dem Kreis liegt, wird die Fläche 0, dann als I immer weiter weg beginnt die Fläche wieder zu wachsen, bis ins Unendliche Jetzt wissen wir wenigstens, wie sich der Punkt D verhält, jetzt müssen wir das lokale Maximum beweisen
UPDATE 2: Wow, via Geogebra hängt die Fläche des roten Dreiecks NUR vom Abstand des Punktes D vom Umkreismittelpunkt ab, also ist für die Menge aller Punkte D, die den gleichen festen Abstand vom Umkreismittelpunkt haben, der rote Bereich gleich durch all diese Punkte! Nehmen wir also gemäß Geogebra an, dass der Abstand von D zum Umkreismittelpunkt X ist und der Radius des Kreises im Bild r ist. Wenn X zunimmt, während X<r, nimmt die Fläche ab, und wenn x=r ist, ist die Fläche 0 If Sie erhöhen X, während X > r, die Fläche nimmt weiter zu (bis ins Unendliche)
Sehr interessantes Ergebnis

Antworten (1)

+ 1 um diese nette Eigenschaft von Pedaldreiecken wiederzuentdecken : Die Fläche ist proportional zur Potenz des Punktes in Bezug auf den Umkreis, hängt also nur vom Abstand des Punktes zum Umkreismittelpunkt des ursprünglichen Dreiecks ab:

S E F G = R 2 − Ö D 2 4 R 2 S A B C

Mathworld zitiert auf diesem Johnson, RA Modern Geometry: An Elementary Treatise on the Geometry of the Triangle and the Circle . Boston, MA: Houghton Mifflin, 1929 .

Einen Beweis findet man zum Beispiel auf cut-the-knot .

Wow, das erklärt alles! Danke schön! Das Problem scheint schwierig zu lösen, wenn man nicht wüsste, dass die Fläche nur vom Abstand von D zum Umkreismittelpunkt und der Fläche des ursprünglichen Dreiecks ABC abhängt
Dreiecks- und Kreismaximierungsproblem
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