Finden des Dreiecks mit der größten Fläche bei gegebenem Umfang

Question

Finden des Dreiecks mit der größten Fläche bei gegebenem Umfang

Infinitesimalrechnung
Geometrie
Mathematik
Optimierung
Lösungsverifikation

Sanket Biswas

Frage: Finden Sie von allen Dreiecken mit einem bestimmten Umfang das Dreieck mit der größten Fläche. Rechtfertige deine Antwort.

Mein Ansatz: Lassen Sie uns welche haben $\Delta ABC$ so dass die Seiten gegenüber $A$ ist von Länge $a$ , die gegenüberliegende Seite $B$ hat die Länge b und die gegenüberliegende Seite $C$ ist von Länge $c$ . Jetzt da der Perimeter zu $\Delta ABC$ ist fest, also müssen wir haben $P=a+b+c$ konstant sein.

Fixieren Sie nun eine beliebige Seite des Dreiecks, lassen Sie uns reparieren $BC$ . Deshalb $b+c=P-a$ , was das impliziert $b+c$ ist konstant. Also der Ort des Punktes $A$ muss eine Ellipse sein, die eine ihrer Achsen als Seite hat $BC$ . Lassen Sie uns nun einen beliebigen Punkt auswählen $A$ auf der Ellipse und lassen Sie eine Senkrechte zur Achse fallen $BC$ . Lassen Sie es die Hauptachse bei treffen $P$ . Nun lass $AP=h$ . Daher ist der Bereich der $\Delta ABC=\frac{1}{2}.h.BC=\frac{1}{2}.h.a.$ Jetzt seit $\frac{1}{2}a$ konstant ist, impliziert die Fläche von $\Delta ABC$ kann durch Maximieren maximiert werden $h$ . Jetzt klar $h$ erreicht ihren Maximalwert, wenn sie mit der anderen Achse der betrachteten Ellipse zusammenfällt, also wenn $AB=AC$ . Daher $\Delta ABC$ muss gleichschenklig sein mit $AB=AC$ um einen maximalen Wert der Fläche von zu erhalten $\Delta ABC$ .

Somit ist klar, dass das Dreieck mit der größten Fläche eines der gleichschenkligen Dreiecke sein muss $ABC$ haben $BC$ als Basis.

Also in jedem solchen $\Delta ABC$ , Wir müssen haben $a+b+c=a+2b \hspace{0.2 cm}(\because b=c)=P\implies b=\frac{1}{2}(P-a).$ Somit haben wir nach der Formel von Heron

| Δ A B C | = \sqrt{\frac{P}{2} (\frac{P}{2} - A) (\frac{A}{2}) (\frac{A}{2})} = \frac{A \sqrt{P}}{4} \sqrt{P - 2 A} .

$|\Delta ABC|=\sqrt{\frac{P}{2}\left(\frac{P}{2}-a\right)\left(\frac{a}{2}\right)\left(\frac{a}{2}\right)}=\frac{a\sqrt{P}}{4}\sqrt{P-2a}.$

Jetzt erhalten Sie die Bedingung für die Maximierung $|\Delta ABC|$ Wir müssen prüfen, wann $\frac{d}{da}\frac{a\sqrt{P}}{4}\sqrt{P-2a}=0.$ Jetzt

\frac{D}{D A} \frac{A \sqrt{P}}{4} \sqrt{P - 2 A} = 0 ⟺ (P - 2 A)^{1 / 2} - A (P - 2 A)^{- 1 / 2} = 0 ⟺ P - 2 A = A ⟺ 3 A = P ⟺ A = \frac{P}{3} .

$\frac{d}{da}\frac{a\sqrt{P}}{4}\sqrt{P-2a}=0\\\iff (P-2a)^{1/2}-a(P-2a)^{-1/2}=0\\\iff P-2a=a\\\iff 3a=P\\\iff a=\frac{P}{3}.$

Nun beachte das $\frac{d^2}{da^2}|\Delta ABC|<0$ , was das impliziert $|\Delta ABC|$ erreicht seinen maximalen Wert, wenn $a=\frac{P}{3}.$ Dies impliziert das $b=c=\frac{P}{3}$ . So haben wir $a=b=c=\frac{P}{3}$ . Deshalb, $|\Delta ABC|$ wird genau dann maximiert, wenn $a=b=c$ , dh das Dreieck ist gleichseitig.

Kann jemand überprüfen, ob diese Lösung richtig ist oder nicht? Und andere Lösungen sind willkommen. Bitte stellen Sie sicher, dass die Lösungen auf Geometrie und Ein-Variablen-Kalkül basieren. Dieses Problem kann mit Lagrange-Multiplikatoren oder Multi-Variablen-Kalkül gelöst werden, aber ich möchte keine Lösung mit denselben.

David G. Storch

Es muss eindeutig ein gleichseitiges Dreieck mit Seiten sein

P / 3

$P/3$ .

Antworten (3)

Finden des Dreiecks mit der größten Fläche bei gegebenem Umfang

Es muss eindeutig ein gleichseitiges Dreieck mit Seiten sein $P/3$ .

Quanto · Answer 1

Die Heron-Formel für das Dreieck lautet

A = \sqrt{S (S - A) (S - B) (S - C)}

$A =\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$

Wo $s=\frac p2$ . Wenden Sie dann die AM-GM-Ungleichung an, um zu erhalten

A = \sqrt{S (S - A) (S - B) (S - C)} \leq {[S {(\frac{3 S - (A + B + C)}{3})}^{3}]}^{1 / 2} = \frac{S^{2}}{3 \sqrt{3}} = \frac{P^{2}}{12 \sqrt{3}}

$A =\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} \le \left[ s \left( \frac{3s-(a+b+c)}{3} \right) ^3\right]^{1/2} = \frac{s^2}{3\sqrt3}=\frac{p^2}{12\sqrt3}$

wo die Gleichheit oder die maximale Fläche auftritt $a=b=c=\frac p3$ .

Piquito · Answer 2

Nur um eine andere Möglichkeit zu geben, eine Lösung abzuleiten. Nehmen Sie eine geschlossene Schnur und lassen Sie eine feste Seite, sagen wir $a$ , des Dreiecks zeichnen Sie wie gewohnt eine Ellipse. Es ist ersichtlich, dass das Dreieck mit der größten Fläche bei einem gleichschenkligen Dreieck auftritt, weil es die gleiche Grundfläche wie alle hat, aber eine größere Höhe (eigentlich eine vertikale Halbachse der Ellipse).

Jetzt ist die Fläche dieses gleichschenkligen Dreiecks $A=\dfrac a4\sqrt{(2b)^2-a^2}$ aber wegen $a+2b=p$ Wir haben eine Funktion von $a$ , nennen $x$ , definiert von

A = \frac{X}{4} \sqrt{P^{2} - 2 P X}

$A=\frac x4\sqrt{p^2-2px}$ Die Ableitung von A ist gleich

A^{'} = \frac{P^{2} - 3 P X}{4 \sqrt{P^{2} - 2 P X}}

$A'=\frac{p^2-3px}{4\sqrt{p^2-2px}}$ wir sehen, dass die maximale Fläche wann genommen wird

a = \frac{p}{3}

$a=\dfrac p3$ Dann

b = \frac{p}{3}

$b=\dfrac p3$ zu.

robjohn · Answer 3

Fläche des Dreiecks mit Eckpunkten $a,b,c$

\begin{matrix} (1) & \frac{1}{2} (A \times B + B \times C + C \times A) = \frac{1}{2} (A^{R} \cdot B + B^{R} \cdot C + C^{R} \cdot A) \end{matrix}

$\frac12(a\times b+b\times c+c\times a)=\frac12\left(a^R\cdot b+b^R\cdot c+c^R\cdot a\right)\tag1$ Wo

(x, y)^{R} = (- y, x)

$(x,y)^R=(-y,x)$ Ist

\frac{π}{2}

$\frac\pi2$ Drehung gegen den Uhrzeigersinn.

Umfang des Dreiecks

\begin{matrix} (2) & | A - B | + | B - C | + | C - A | \end{matrix}

$|a-b|+|b-c|+|c-a|\tag2$ maximieren

(1)

$(1)$

\begin{matrix} (3) & A^{R} \cdot (δ B - δ C) + B^{R} \cdot (δ C - δ A) + C^{R} \cdot (δ A - δ B) = 0 \end{matrix}

$a^R\cdot(\delta b-\delta c)+b^R\cdot(\delta c-\delta a)+c^R\cdot(\delta a-\delta b)=0\tag3$ für alle Variationen, die halten

(2)

$(2)$ Fest

\begin{matrix} (4) & \frac{A - B}{| A - B |} \cdot (δ A - δ B) + \frac{B - C}{| B - C |} \cdot (δ B - δ C) + \frac{C - A}{| C - A |} \cdot (δ C - δ A) = 0 \end{matrix}

$\frac{a-b}{|a-b|}\cdot(\delta a-\delta b)+\frac{b-c}{|b-c|}\cdot(\delta b-\delta c)+\frac{c-a}{|c-a|}\cdot(\delta c-\delta a)=0\tag4$ wir können benutzen

δ a - δ b

$\delta a-\delta b$ ,

δ b - δ c

$\delta b-\delta c$ , Und

δ c - δ a

$\delta c-\delta a$ wie die Variationen, solange wir ihre Abhängigkeit berücksichtigen:

\begin{matrix} (5) & (δ A - δ B) + (δ B - δ C) + (δ C - δ A) = 0 \end{matrix}

$(\delta a-\delta b)+(\delta b-\delta c)+(\delta c-\delta a)=0\tag5$ Orthogonalität erfordert einen Punkt

μ

$\mu$ und konstant

λ

$\lambda$ so dass

\begin{matrix} (7) & \begin{aligned} A^{R} & = λ \frac{B - C}{| B - C |} + μ^{R} \\ B^{R} & = λ \frac{C - A}{| C - A |} + μ^{R} \\ C^{R} & = λ \frac{A - B}{| A - B |} + μ^{R} \end{aligned} \end{matrix}

$\begin{align} a^R&=\lambda\frac{b-c}{|b-c|}+\mu^R\\ b^R&=\lambda\frac{c-a}{|c-a|}+\mu^R\\ c^R&=\lambda\frac{a-b}{|a-b|}+\mu^R \end{align}\tag7$ Das ist,

\begin{matrix} (8) & | A - μ | = | B - μ | = | C - μ | = λ \end{matrix}

$|a-\mu|=|b-\mu|=|c-\mu|=\lambda\tag8$ Und

\begin{matrix} (9) & (A - μ) \cdot (B - C) = (B - μ) \cdot (C - A) = (C - μ) \cdot (A - B) = 0 \end{matrix}

$(a-\mu)\cdot(b-c)=(b-\mu)\cdot(c-a)=(c-\mu)\cdot(a-b)=0\tag9$ Deshalb,

\begin{matrix} (10) & \begin{aligned} | A - B |^{2} & = | (A - μ) - (B - μ) |^{2} \\ = | A - μ |^{2} + | B - μ |^{2} - 2 (A - μ) \cdot (B - μ) \\ = | A - μ |^{2} + | C - μ |^{2} - 2 (A - μ) \cdot (C - μ) \\ = | (A - μ) - (C - μ) |^{2} \\ = | A - C |^{2} \end{aligned} \end{matrix}

$\begin{align} |a-b|^2 &=|(a-\mu)-(b-\mu)|^2\\ &=|a-\mu|^2+|b-\mu|^2-2(a-\mu)\cdot(b-\mu)\\ &=|a-\mu|^2+|c-\mu|^2-2(a-\mu)\cdot(c-\mu)\\ &=|(a-\mu)-(c-\mu)|^2\\ &=|a-c|^2 \end{align}\tag{10}$ Der Schritt wo

b

$b$ Änderungen an

c

$c$ Folgt aus

| c - μ | = | b - μ |

$|c-\mu|=|b-\mu|$ Und

(a - μ) \cdot (c - b) = 0

$(a-\mu)\cdot(c-b)=0$ .

Ähnlich $|a-b|^2=|c-b|^2$ . Das Dreieck ist also gleichseitig.

Finden des Dreiecks mit der größten Fläche bei gegebenem Umfang

Sanket Biswas

David G. Storch

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Piquito

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