Frage des Nachweises von Maxima bezogen auf die quadratische Form

Vermuten$\bf{A}$ist eine symmetrische positiv-definite Matrix und jetzt wollen wir die Funktion maximieren$f(\bf{x})=\bf{x}^\rm{T}\bf{A}\bf{x}$mit Einschränkung$\bf{x}^\rm{T}\bf{x}=\rm{1}$. Unter Verwendung des Lagrange-Multiplikators haben wir$L(\bf{x})=\bf{x}^\rm{T}\bf{A}\bf{x}-\lambda(\bf{x}^\rm{T}\bf{x}-\rm{1})$und indem wir von beiden Seiten ableiten, erhalten wir$L'(\bf{x})=(\bf{A}-\lambda\bf{I})\bf{x}=\rm{0}$, deren Lösungen Eigenvektoren von sind$\bf{A}$.

Meine Frage ist, wie man beweist, dass die Lösungen (die Eigenvektoren) tatsächlich Maxima von sind$f(\bf{x})$statt Minima. Ich bin mir nicht sicher, aber ich denke, das hängt mit der Hesse-Matrix zusammen, und ich habe hier eine Hesse-Matrix einer quadratischen Form gefunden , die die Hesse-Matrix einer quadratischen Form zu sein scheint$\bf{A}+\bf{A}^\rm{T}$, aber ich weiß nicht, wie ich es mit einer Einschränkung verwenden soll. Ich poste diese Frage, um mit einem vollständigen Beweis um Hilfe zu bitten. Danke schön.

PS Hintergrund dieser Fragestellung ist ein weit verbreitetes statistisches Modell der Hauptkomponentenanalyse. Eine verwandte Frage lautet: Warum entsprechen die Hauptkomponenten den Eigenwerten? wenn Sie interessiert sind.