Lösen von ODE F(t)=A(t)F′(t)F(t)=A(t)F′(t)F(t)=A(t)F'(t)

Question

Lösen von ODE F(t)=A(t)F′(t)F(t)=A(t)F′(t)F(t)=A(t)F'(t)

Infinitesimalrechnung
Matrizen
Integration
Mathematik
Lineare Algebra
Gewöhnliche Differentialgleichungen

Nirwana

Wie löst man $F(t)=A(t)F'(t) ,F(0)= I\tag 1$

Alle sind $3 \times 3$ Matrizen außer Variable t
A(t) ist gegeben und hat Determinante $0$ . $A(t)=(I-tC_1)^{-1}t^3C_2 \tag 2$
I ist eine Rotationsmatrix mit konstanter Einheit, was bedeutet, dass I eine Einheitsmatrix ist
$C_1,C_2$ sind konstante schiefsymmetrische Matrizen von $0$ bestimmend
$C_{1} = (\begin{array}{ccc} 0 & - C_{0} & B_{0} \\ C_{0} & 0 & - A_{0} \\ - B_{0} & A_{0} & 0 \end{array}) .$ $C_1=\left( \begin{array}{ccc} 0 & -c_0 & b_0 \\ c_0 & 0 & -a_0 \\ -b_0 & a_0 & 0 \\ \end{array} \right).$ $C_{2} = (\begin{array}{ccc} 0 & - (C_{1} - C_{0}) & (B_{1} - B_{0}) \\ (C_{1} - C_{0}) & 0 & - (A_{1} - A_{0}) \\ - (B_{1} - B_{0}) & (A_{1} - A_{0}) & 0 \end{array}) .$ $C_2=\left( \begin{array}{ccc} 0 & -(c_1-c_0) & (b_1-b_0) \\ (c_1-c_0) & 0 & -(a_1-a_0) \\ -(b_1-b_0) & (a_1-a_0) & 0 \\ \end{array} \right).$

Hinweis: Alle Einträge der Matrizen $C_1$ , $C_2$ sind Konstanten, können nicht verändert werden

Studentischer Tee

Kennen Sie die Exponentialmatrix?

Nirwana

Ich kenne Matrixexp

Nirwana

@Amzoti hinzugefügt, bitte überprüfen

Nirwana

Du meinst hinein

C_{1}

$C_1$ Und

C_{2}

$C_2$

Nirwana

Mit Bearbeitung hinzugefügt, bitte lesen

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Lösen von ODE F(t)=A(t)F′(t)F(t)=A(t)F′(t)F(t)=A(t)F'(t)

Winter · Answer 1

Durch das Produktgesetz der Determinanten haben wir

det F (T) = det A (T) \cdot det F^{'} (T) = 0

$\det F(t) = \det A(t) \cdot \det F'(t) = 0$

Wenn $\det F'(t)$ ist endlich, aber das widerspricht $\det F(0) = 1$ . Das bedeutet, dass $F'(t)$ (falls überhaupt eine Lösung existiert) ist nahezu unbeschränkt $t=0$ Und $\det F(t)$ (und deshalb $F(t)$ ) muss bei diskontinuierlich sein $t=0$ .

Lassen Sie uns das System näher untersuchen $t=0$ . Wir finden

(\begin{matrix} F_{00} & F_{10} & F_{20} \\ F_{01} & F_{11} & F_{21} \\ F_{02} & F_{12} & F_{22} \end{matrix}) = T^{3} (S + Ö (T) Q) (\begin{matrix} \dot{F_{00}} & \dot{F_{10}} & \dot{F_{20}} \\ \dot{F_{01}} & \dot{F_{11}} & \dot{F_{21}} \\ \dot{F_{02}} & \dot{F_{12}} & \dot{F_{22}} \end{matrix})

$\left(\matrix{F_{00}&F_{10}&F_{20}\\F_{01}&F_{11}&F_{21}\\F_{02}&F_{12}&F_{22}}\right) =t^3\left(S+\mathcal{O}(t)Q\right)\left(\matrix{\dot{F_{00}}&\dot{F_{10}}&\dot{F_{20}}\\\dot{F_{01}}&\dot{F_{11}}&\dot{F_{21}}\\\dot{F_{02}}&\dot{F_{12}}&\dot{F_{22}}}\right)$

Wo $S$ hängt nicht davon ab $t$ . Der $00$ -Komponente nach niedrigster Ordnung in $t$ gibt

(C_{0} - C_{1}) \dot{F_{10}} + (- B_{0} + B_{1}) \dot{F_{20}} = \frac{F_{00}}{T^{3}} ≃ \frac{1}{T^{3}}

$(c_0 - c_1) \dot{F_{10}} + (-b_0 + b_1) \dot{F_{20}} = \frac{F_{00}}{t^3} \simeq \frac{1}{t^3}$

So einer oder mehrere der $F_{ij}$ Terme müssen eine Singularität bei haben $t=0$ .

Dies muss nicht wahr sein. Wenn $f(x)=\sqrt{x}+1$ , Dann $f'(x)$ ist unbegrenzt nahe bei $x=0$ , noch $f(x)=2(x+\sqrt{x})f'(x)$ mit $f(0)=1$ ist gut definiert, mit anderen Auswahlmöglichkeiten von $f(0)$ was zu einer Skalierung des Ergebnisses führt $f(x)$ .
@GlenO Das ist ein guter Punkt, danke. Ich habe die Aussage korrigiert.

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Nirwana

Studentischer Tee

Nirwana

Nirwana

Nirwana

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Winter

Glen O

Winter

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